\documentclass[a4paper,12pt]{report}
\pagestyle{headings}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{epigraph}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{psfrag}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{setspace}
\usepackage{cite}
\usepackage[left=34mm,right=26mm,top=30mm,bottom=25mm]{geometry}
\usepackage{caption2}
\pagestyle{fancy}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{pstricks}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{pst-grad}
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{tikz}
\usepackage{epstopdf}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{appendix}
\usepackage{pgfplots,pgfplotstable}
\usepackage[straightvoltages]{circuitikz}

\usepgfplotslibrary{units}
\sisetup{
  round-mode          = places,
  round-precision     = 2,
}
\usetikzlibrary{external}
\usetikzlibrary{arrows.meta, bending, decorations.markings}


\newcommand{\dotr}{\mbox{$\boldsymbol{\cdot}$}}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{defin}{Definíció}
\newtheorem{tetel}{Tétel}
\newtheorem{allitas}{Állítás}
\newtheorem{pelda}{Példa}

\sloppy
\lhead{Unger Tamás István}
\rhead{Szakdolgozat}

\begin{document}
\begin{titlepage}
\begin{singlespace}
\begin{center}
\begin{spacing}{0.8}
\huge{\textsc{SZAKDOLGOZAT\\}}
\end{spacing}
\vspace{0.8in}
\huge{\textsc{\textbf{A Chua-áramkör matematikai vizsgálata\\}}}
\vspace{1in}
\Large{Írta:\\}
\vspace{0.2in}
\Large{\textsc{Unger Tamás István}\\}
\vspace{0.1in}
\large{Matematika B.Sc.\ szakos hallgató\\ \ \\ \ \\}
\vspace{0.7in}
\Large{Témavezető:\\}
\vspace{0.2in}
\Large{\textsc{Dr.\ Vas Gabriella Ágnes}\\}
\vspace{0.1in}
\large{tudományos munkatárs\\ \ \\}
\vspace{1.6in}
\large{Szegedi Tudományegyetem\\Bolyai Intézet\\Alkalmazott és Numerikus Matematika Tanszék\\ 2020}
\end{center}
\end{singlespace}
\end{titlepage}
\chapter*{Nyilatkozat}
Alulírott \emph{Unger Tamás István} matematika B.Sc.\ szakos hallgató kijelentem, hogy a szakdolgozatban foglaltak a saját munkám eredményei, és csak a hivatkozott forrásokat (szakirodalom, eszközök, stb.) használtam fel. 

Tudomásul veszem, hogy szakdolgozatomat a Szegedi Tudományegyetem könyvtárában a kölcsönözhető könyvek között helyezik el, és az interneten is nyilvánosságra hozhatják.

\noindent\begin{tabular}{ll}
\\[8ex]
\makebox[2.5in]{\hrulefill} &\hspace{15mm} \makebox[2.5in]{\hrulefill}\\
Aláírás &\hspace{15mm} Dátum\\
\end{tabular}
\thispagestyle{empty}
\chapter*{}
\epigraph{\emph{De tűnt idő, te merre bolyongsz az anyagban?\\ Visszatérsz-e még a nyüzsgő szálakon?\\ Rétegek, halmazok, iramló pályák $-$\\ ez vagyok én, és ez itt az otthonom.}}{Kátai Tamás}
\section*{\huge{Köszönetnyilvánítás}}
\vspace{5mm}
Hálás köszönettel tartozom témavezetőmnek, Dr.\ Vas Gabriellának, hogy munkámat hétről-hétre értékes, inspiráló észrevételeivel, javaslataival és töretlen optimizmusával támogatta. Ezúton szeretném megköszönni Prof.\ Kuczmann Miklósnak, a győri Széchenyi István Egyetem egyetemi tanárának, hogy a szakdolgozat témaválasztása során segítségemre volt, és  felkeltette érdeklődésemet a Chua-rendszer iránt.

Hálás vagyok a Bolyai Intézet oktatóinak, hogy tanulmányaim során példaértékű hozzáállásukkal, színvonalas előadásaikkal és magasfokú szakmai felkészültségükkel bevezettek a matematikatudományok alapjaiba.

Köszönetemet szeretném kifejezni közvetlen kollégáimnak is, különös tekintettel Dr.\ Kissné Akli Mária osztályvezető asszonynak, amiért a napi feladataim ellátása mellett lehetővé tették, hogy tanulmányaimat nyugodt körülmények között, támogatásuk és elismerésük mellett folytathassam. Végül, de nem utolsósorban köszönettel tartozom barátaimnak azért a felbecsülhetetlen értékű támogatásért, amellyel a nehéz pillanatokban is erőt adnak a mindennapi küzdelmekhez a magánéletben és a munkában egyaránt.
\pagenumbering{arabic}
\thispagestyle{empty}
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\cleardoublepage
\setcounter{page}{1}
\chapter{Bevezetés}
A dolgozat elsődleges célkitűzése a kapcsolódó elmélet tárgyalása mellett, hogy numerikus vizsgálatok segítségével bemutassa a Chua-áramkörben megfigyelhető bifurkációs jelenségeket. A dolgozat második fejezetében ismertetjük a Chua-áramkört leíró háromdimenziós differenciálegyenlet-rendszert, valamint annak fizikai dimenzióktól mentes alakját, végül tárgyaljuk a rendszer egyensúlyi helyzeteit.

Tekintettel arra, hogy az áramkör viselkedését leíró rendszer a fázistér egyes tartományain inhomogén, konstans együtthatós, lineáris rendszerekre redukálódik, a harmadik fejezetben áttekintjük ezen rendszerek elméletét.

A dolgozat negyedik fejezetében megmutatjuk, hogyan térhetünk át az eredeti háromdimenziós differenciálegyenlet-rendszerről egy inhomogén, lineáris, harmadrendű, konstans együtthatós egyenletre. Az áttérés után ismertetjük ennek az egyenletnek a megoldását, majd tárgyaljuk a rendszer numerikus implementálásának nehézségeit.

Az ötödik fejezetben egy kétdimenziós példán keresztül ismertetjük a Hopf-bifurkációt, majd numerikus módszerek segítségével példát mutatunk a jelenségre a Chua-rendszerben.

A hatodik fejezetben tárgyaljuk a perióduskettőző bifurkációt leképezések és differenciálegyenlet-rendszerek esetében is, végül perióduskettőző bifurkációk sorozatát figyeljük meg numerikusan a Chua-rendszerben.

A dolgozat utolsó fejezetében definiáljuk a káoszt, legvégül pedig példát mutatunk a Chua-rendszer kaotikus viselkedésére.
\chapter{A Chua-áramkör}
\section{Az áramkör és egyenletei}
Tekintsük \aref{fig:chuacircuit}.\ ábrán látható, $L$ induktivitásból, $C_1$ és $C_2$ kapacitásokból, $G$ vezetőképességből és egy Chua-diódából álló áramkört. A dióda szigorúan monoton csökkenő, szakaszonként lineáris, az egyes szakaszokon rendre $G_b$, $G_a$ és $G_b$ meredekségű áram-feszültség-karakterisztikával jellemezhető. Az egyes áramköri elemeken a feltüntetett értékű és irányú feszültségek esnek, és a feltüntetett irányú áramok folynak.
\begin{figure}[h]
\centering
\tikzsetnextfilename{chua-circuit}
\begin{tikzpicture}[x=1.15cm]
\draw (0,0) 
    to[L,  f=$i_L$,  v_>=$L\frac{d i_L}{d t}$] (0,3) to (2,3)
		to[generic=$G$, f=$u_2-u_1$] (4,3) to (6,3)
		to[ageneric, f=$i_R\left(u_1\right)$] (6,0) to (0,0);
\draw (2,0) to[C, v_<=$u_2$, f<=$C_2\frac{d u_2}{d t}$] (2,3);
\draw (4,0) to[C, v_<=$u_1$, f<=$C_1\frac{d u_1}{d t}$] (4,3);
\draw (2,0) node[ground] {};
\draw [fill] (2,0) circle [radius=1pt];		
\draw (5.8,1.3) node[anchor=north east,align=right] {Chua-\\dióda};
\draw (1.8,1.5) node[anchor=north east] {$C_2$};
\draw [fill] (2,3) circle [radius=1pt];	
\draw [dashed, line width=0.4pt] (2,3) circle [radius=5.5pt];
\draw (2.53,3) node[anchor=north east] {\tiny{$\text{N}_2$}};
\draw [fill] (4,3) circle [radius=1pt];	
\draw [dashed, line width=0.4pt] (4,3) circle [radius=5.5pt];
\draw (4.53,3) node[anchor=north east] {\tiny{$\text{N}_1$}};
\draw [fill] (4,0) circle [radius=1pt];	
\draw (3.8,1.5) node[anchor=north east] {$C_1$};
\draw (-0.2,1.5) node[anchor=north east] {$L$};
\draw [<-] [rotate=105] (0.35,-1.4) arc [start angle=0, end angle=250, x radius=8pt, y radius=16pt];
\draw (1.3,0.7) node[anchor=north east] {\small{$\text{H}$}};

\begin{scope}[xshift=11cm, yshift=1.5cm]
\draw [->] (-2,0) -- (2,0) node[anchor=west] {$u_1$};
\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node[anchor=west] {$i_R$} ;
\draw (-1,0) node[anchor=north] {$-B_p$} (1,0) node[anchor=south] {$B_p$}
(-1.5,1.65) node[anchor=north] {$G_b$} (-0.21,0.83) node[anchor=north] {$G_a$} (1.5,-0.61) node[anchor=north] {$G_b$};
\draw [thick] (-2,1.3) -- (-1,1) -- (1,-1) -- (2,-1.3);
\draw [dotted] (-1,1) -- (-1,0) (1,-1) -- (1,0);
 \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Chua-áramkör és a Chua-dióda karakterisztikája}
\label{fig:chuacircuit}
\end{figure}
Mivel a kapacitásokon és az induktivitáson eső feszültségek és átfolyó áramok közötti összefüggésekben megjelenik az induktivitás $i_L$ áramának, valamint a két kapacitás $u_1$ és $u_2$ feszültségének idő szerinti deriváltja, az áramkör viselkedését differenciálegyenlet-rendszer segítségével írhatjuk le. Ehhez a klasszikus villamosságtan úgynevezett Kirchhoff-törvényeit (csomóponti- és huroktörvényeit) szükséges alkalmazni\cite{villamossagtan}.

Vizsgáljuk először a $G$ vezetőképességtől jobbra elhelyezkedő N$_1$ áramköri csomópontot. A csomóponti törvény értelmében a csomópontba befolyó áramok összege megegyezik az onnan elfolyó áramok összegével, azaz bármely csomópontra $\sum_ji_j=0$. Felírva az egyetlen befolyó és a két kifolyó áram előjeles összegét
\begin{equation}
G\left(u_2-u_1\right)-C_1\frac{d u_1}{d t}-i_R=0
\end{equation}
adódik. Átrendezve kapjuk a $C_1$ kapacitás feszültségére vonatkozó differenciálegyenletet:
\begin{equation}
\frac{d u_1}{d t}=\frac{G}{C_1}u_2-\frac{G}{C_1}u_1-\frac{1}{C_1}i_R.
\end{equation}
Hasonlóan járunk el a $G$-től balra lévő N$_2$ csomópont esetén:
\begin{equation}
i_L-C_2\frac{d u_2}{d t}-G\left(u_2-u_1\right)=0,
\end{equation}
melyből a $C_2$ kapacitás feszültségére vonatkozó differenciálegyenlet:
\begin{equation}
\frac{d u_2}{d t}=\frac{G}{C_2}u_1-\frac{G}{C_2}u_2+\frac{1}{C_2}i_L.
\end{equation}
Az induktivitás áramára vonatkozó differenciálegyenlethez az $L$ induktivitás és a $C_2$ kapacitás alkotta H hurokra szükséges alkalmazni a huroktörvényt. Ennek értelmében bármely zárt hurokban a feszültségek előjeles összege nulla. Az óramutató járásával megegyező hurokkörüljárási irányt felvéve a törvény az
\begin{equation}
L\frac{d i_L}{d t}+u_2=0\ \Longleftrightarrow\ \frac{d i_L}{d t}=-\frac{1}{L}u_2
\end{equation}
alakot ölti. Ezen három differenciálegyenlet által alkotott differenciálegyenlet-rendszert az áramkör állapotváltozós leírásának nevezezzük\cite{miklosjelek}:
\begin{equation}
\boxed{
\begin{split}
&\frac{d u_1}{d t}=\frac{G}{C_1}u_2-\frac{G}{C_1}u_1-\frac{1}{C_1}i_R,\\
&\frac{d u_2}{d t}=\frac{G}{C_2}u_1-\frac{G}{C_2}u_2+\frac{1}{C_2}i_L,\\
&\frac{d i_L}{d t}=-\frac{1}{L}u_2.\\
\end{split}
}
\label{eq:alapegyenletek}
\end{equation}
A Chua-dióda áram-feszültség-karakterisztikája a következőképpen adható meg:
\begin{equation}
    i_R\left(u_1\right)= 
\begin{cases}
    G_bu_1+\left(G_b-G_a\right)B_p,& u_1<-B_p,\\
    G_au_1, & -B_p\leq u_1\leq B_p,\\
		G_bu_1+\left(G_a-G_b\right)B_p, &  u_1>B_p.\\
\end{cases}
\end{equation}
\section{Dimenzió nélküli egyenletek}
Vezessük be a következő jelöléseket:
\begin{equation*}
x=\frac{u_1}{B_p},\ y=\frac{u_2}{B_p},\ z=\frac{i_L}{B_pG,},\ \tau=t\frac{G}{C_2},\ \alpha=\frac{C_2}{C_1}\text{ és }\beta=\frac{C_2}{LG^2},
\end{equation*}
valamint tekintsük az $u_1$ feszültség $\tau$ szerinti deriváltját:
\begin{equation}
\frac{d u_1}{d\tau}=\frac{d u_1}{d t}\frac{C_2}{G}=\frac{C_2}{C_1}\left(u_2-u_1-\frac{1}{G}i_R\right).
\label{eq:elso}
\end{equation}
Legyen $f\left(x\right)=1/\left(GB_p\right)i_R\left(u_1\right)$. Elosztva (\ref{eq:elso}) mindkét oldalát $B_p$-vel és felhasználva a bevezetett jelöléseket a
\begin{equation}
\frac{d x}{d\tau}=\alpha\left(y-x-f\left(x\right)\right)
\end{equation}
alakú differenciálegyenlet adódik. Hasonlóan járhatunk el az $u_2$ feszültségre vonatkozó differenciálegyenlettel is. Az eredeti egyenlet mindkét oldalát $B_p$-vel elosztva, $t$ helyére $\tau$-t helyettesítve, és felhasználva a jelöléseket (\ref{eq:alapegyenletek}) második egyenlete a
\begin{equation}
\frac{d y}{d\tau}=x-y+z
\end{equation}
alakot ölti. Az induktivitás $i_L$ áramára vonatkozó differenciálegyenletből kiindulva, $i_L$ helyére $z$-t, $t$ helyére pedig $\tau$-t helyettesítve végül
\begin{equation}
\frac{d z}{d\tau}=-\frac{1}{L}\frac{C_2}{G}\frac{1}{B_pG}u_2=-\beta y
\end{equation}
adódik. A fenti átalakításokkal az eredeti állapotváltozós leírásból a következő differenciálegyenlet-rendszerre jutottunk\cite{alapchua}:
\begin{equation}
\boxed{
\begin{split}
&\frac{d x}{d \tau}=\alpha\left(y-x-f\left(x\right)\right),\\
&\frac{d y}{d \tau}=x-y+z,\\
&\frac{d z}{d \tau}=-\beta y.\\
\end{split}
}
\label{eq:alapegyenletek_dimless}
\end{equation}
Az idő, az elektromos áram és -feszültség, valamint a vezetőképesség, a kapacitás és az induktivitás mértékegységeinek ismeretében könnyen belátható, hogy az így kapott egyenletekben szereplő együtthatók, függvények és változók mindegyike mentes a fizikai dimenzióktól. 

Az első egyenletben szereplő $f$ függvényt a Chua-dióda áram-feszültség-karakterisztikájából származtattuk $1/\left(GB_p\right)$-vel történő szorzással. Bevezetve az
\begin{equation*}
m_0=\frac{G_a}{G}\text{ és }m_1=\frac{G_b}{G}
\end{equation*}
jelöléseket a függvény a következőképpen írható fel:
\begin{equation}
    f\left(x\right)= 
\begin{cases}
    m_1x+m_1-m_0,& x<-1,\\
    m_0x, & -1\leq x\leq 1,\\
		m_1x+m_0-m_1, &  x>1.\\
\end{cases}
\end{equation}

Vizsgálataink során
\begin{equation}
\alpha>0,\ \beta>0,\ m_0<-1\text{ és }-1<m_1<0.
\label{eq:alaphipotezis}
\end{equation}
Végül pedig definiáljunk egy, a későbbiek folyamán fontos szerepet játszó konstanst is:
\begin{equation}
    d= 
\begin{cases}
    \frac{m_0-m_1}{1+m_1},& x<-1,\\
    0, & -1\leq x\leq 1,\\
		\frac{m_1-m_0}{1+m_1}, &  x>1.\\
\end{cases}
\end{equation}
A továbbiakban az itt bevezetett dimenzió nélküli egyenletekkel, a (\ref{eq:alaphipotezis}) feltétellel, az $f$ függvénnyel és a $d$ konstanssal dolgozunk úgy, hogy $\tau$ helyett rendre $t$-t írunk.
\section{Egyensúlyi helyzetek}
\begin{defin}
\label{ehelyzet_def}
Az $\left(x^*,y^*,z^*\right)^{\text{T}}\in\mathbb{R}^3$ pont \textit{egyensúlyi helyzet}e (\ref{eq:alapegyenletek_dimless})-nek, ha a konstans
\begin{equation*}
\mathbb{R}\ni t\mapsto\left(x^*,y^*,z^*\right)^{\text{T}}\in\mathbb{R}^3
\end{equation*}
függvény megoldása (\ref{eq:alapegyenletek_dimless})-nek.
\end{defin}
\begin{allitas}
\label{ehelyzetek}
A (\ref{eq:alapegyenletek_dimless}) egyenletrendszernek a (\ref{eq:alaphipotezis}) feltétel mellett három egyensúlyi helyzete van, melyek $\left(d,0,-d\right)^{\text{T}}$ alakúak.
\end{allitas}
\begin{proof}
\Aref{ehelyzet_def}.\ Definíció szerint az $\left(x^*,y^*,z^*\right)^{\text{T}}$ egyensúlyi helyzetek az
\[
\begin{cases}
    \alpha\left(y-x-f\left(x\right)\right)=0,\\
    x-y+z=0,\\
		-\beta y=0\\
\end{cases}
\]
egyenletrendszer megoldásai lesznek. Az egyenletrendszert vizsgálva azonnal látszik, hogy $y^*=0$, $z^*=-x^*$ és $f\left(x^*\right)=-x^*$. 

Írjuk fel az $f\left(x^*\right)=-x^*$ egyenletet az $x^{*}<-1$, $-1\leq x^{*}\leq 1$ és $x^{*}>1$ esetekre. Az így kapott összefüggéseket $x^*$-ra rendezve már egyszerűen megmutatható, hogy mindhárom esetben $\left(d,0,-d\right)^{\text{T}}$ alakú egyensúlyi helyzet adódik.
\end{proof}

Azt mondjuk, hogy az $\left(x^*,y^*,z^*\right)^{\text{T}}\in\mathbb{R}^3$ egyensúlyi helyzet \emph{stabil}, ha a közelében indított megoldások örökre közel maradnak. A pontos definíció a következő:
\begin{defin}
Az $\left(x^*,y^*,z^*\right)^{\text{T}}\in\mathbb{R}^3$ egyensúlyi helyzet \emph{stabil}, ha bármely $\varepsilon>0$ esetén létezik $\delta>0$ úgy, hogy tetszőleges $\left(x,y,z\right)^{\text{T}}$ megoldás és
\begin{equation*}
\left|x\left(0\right)-x^*\right|+\left|y\left(0\right)-y^*\right|+\left|z\left(0\right)-z^*\right|<\delta
\end{equation*}
esetén
\begin{equation*}
\left|x\left(t\right)-x^*\right|+\left|y\left(t\right)-y^*\right|+\left|z\left(t\right)-z^*\right|<\varepsilon\text{, minden } t\geq0\text{-ra.}
\end{equation*}
Az egyensúlyi helyzet \emph{instabil}, ha nem stabil.
\end{defin}
\begin{defin}
Az $\left(x^*,y^*,z^*\right)^{\text{T}}\in\mathbb{R}^3$ egyensúlyi helyzet \emph{aszimptotikusan stabil}, ha stabil és létezik $\delta_0>0$ úgy, hogy tetszőleges $\left(x,y,z\right)^{\text{T}}$ megoldás és
\begin{equation*}
\left|x\left(0\right)-x^*\right|+\left|y\left(0\right)-y^*\right|+\left|z\left(0\right)-z^*\right|<\delta_0
\end{equation*}
esetén $\lim\limits_{t\to\infty}\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)^{\text{T}}=\left(x^*,y^*,z^*\right)^{\text{T}}$.
\end{defin}
\chapter{Elméleti háttér}
Az előző fejezetben ismertett, a Chua-áramkör viselkedését leíró differenciálegyenlet-rendszer a fázistér egyes tartományain inhomogén, konstans együtthatós, lineáris rendszerekre redukálódik. A következőkben ezért áttekintjük a lineáris rendszerek elméletét\cite{terjeki}.
\section{Konstans együtthatós, elsőrendű lineáris rendszerek}
\begin{defin}
Az 
\begin{equation*}
\dot{X}\left(t\right)=AX\left(t\right),\ A\in\mathbb{R}^{n\times n},\ X\left(t\right)\in\mathbb{R}^{n}
\tag{H$_1$}
\end{equation*}
egyenletrendszert \textit{homogén lineáris egyenletrendszer}nek nevezzük, melyben ${X\left(t\right)=\left(X_1\left(t\right),X_2\left(t\right),...,X_n\left(t\right)\right)^{\text{T}}}$ ismeretlen, $\dot{X}\left(t\right)$ pedig az $X\left(t\right)$ idő szerinti első deriváltját jelöli.
\end{defin}
Megmutatható, hogy bármely $X_0\in\mathbb{R}^n$ esetén az $\dot{X}\left(t\right)=AX\left(t\right)$, $X\left(0\right)=X_0$ kezdetiérték-problémának az egész számegyenesen létezik megoldása. Ezt az állítást mi most nem igazoljuk.

Igaz a következő tétel is, amit később, a Chua-rendszer megoldásainak meghatározása során felhasználunk.
\begin{tetel}
\label{homalt}
(H$_1$) megoldásai a folytonosan differenciálható függvények terében egy $n$-dimenziós alteret alkotnak, azaz igazak a következők:
\begin{enumerate}
\item Ha $\varphi_1$, $\varphi_2$ megoldása (H$_1$)-nek, akkor $c_1\varphi_1+c_2\varphi_2$ is megoldás bármely ${c_1,c_2\in\mathbb{R}}$ esetén.
\item Létezik $\varphi_1,...,\varphi_n$ megoldása (H$_1$)-nek, amelyek lineárisan függetlenek, azaz létezik $n$-elemű alaprendszer (bázis).
\item (H$_1$) bármely $\hat{\varphi}$ megoldásához létezik $\hat{c}_1,...,\hat{c}_n\in\mathbb{R}$, hogy minden $t\in\mathbb{R}$ esetén $\hat{\varphi}\left(t\right)=\hat{c}_1\varphi_1\left(t\right)+...{+\hat{c}_n\varphi_n\left(t\right)}$. Ekkor $\hat{c}_1\varphi_1+...+\hat{c}_n\varphi_n$ neve \textit{általános megoldás}.
\end{enumerate}
\end{tetel}
\begin{proof}
A tétel első része behelyettesítéssel ellenőrizhető minden $t\in\mathbb{R}$-re:
\begin{equation*}
\begin{split}
&\left(c_1\varphi_1\left(t\right)+c_2\varphi_2\left(t\right)\right)'=c_1\dot{\varphi_1}\left(t\right)+c_2\dot{\varphi_2}\left(t\right)=\\
&=c_1A\varphi_1\left(t\right)+c_2A\varphi_2\left(t\right)=A\left(c_1\varphi_1\left(t\right)+c_2\varphi_2\left(t\right)\right).\\
\end{split}
\end{equation*}

Az $n$-elemű alaprendszer létezésének igazolásához tekintsük az $\mathbb{R}^{n}$-beli ${e_1,...,e_n\in\mathbb{R}^{n}}$ standard bázist, és tekintsük az
\[\left(\text{k.é.p.}\right)_i\ 
\begin{cases}
    \dot{X}\left(t\right)=AX\left(t\right),\\
    X\left(0\right)=e_i\\
\end{cases}
\]
kezdetiérték-problémát minden $i\in\left\{1,2,...,n\right\}$ esetén. Jelölje $\varphi_i\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ minden $i\in\left\{1,2,...,n\right\}$ esetén $\left(\text{k.é.p.}\right)_i$ megoldását.

Igazoljuk a $\varphi_1,...,\varphi_n$ megoldások függetlenségét indirekt módon: tegyük fel, hogy $\varphi_1,...,\varphi_n$ lineárisan függő. Ekkor létezik
\begin{equation*}
\overline{c}_1,...,\overline{c}_n\in\mathbb{R},\ \overline{c}_1^2+...+\overline{c}_n^2>0
\end{equation*}
úgy, hogy
\begin{equation*}
\overline{c}_1\varphi_1\left(t\right)+...+\overline{c}_n\varphi_n\left(t\right)=0\text{ bármely }t\in\mathbb{R}\text{ esetén}.
\end{equation*}
Amennyiben $t=0$, úgy éppen az $\mathbb{R}^n$-beli standard bázis lineáris kombinációját kapjuk, ami nem lehet nulla, ezért ellentmondásra jutunk:
\begin{equation*}
\overline{c}_1\varphi_1\left(0\right)+...+\overline{c}_n\varphi_n\left(0\right)=0,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\overline{c}_1e_1+...+\overline{c}_ne_n=0.\ \ \text{\Lightning}
\end{equation*}

A tétel harmadik állítása az, hogy (H$_1$) összes $\hat{\varphi}$ megoldása előáll a $\varphi_1,...,\varphi_n$ alaprendszer lineáris kombinációjaként. Létezik $\hat{c}_1,...,\hat{c}_n$ úgy, hogy
\begin{equation*}
\hat{\varphi}\left(0\right)=\hat{c}_1e_1+...+\hat{c}_ne_n.
\end{equation*}
Legyen
\begin{equation*}
\psi\left(t\right)=\hat{c}_1\varphi_1\left(t\right)+...+\hat{c}_n\varphi_n\left(t\right),
\end{equation*}
amely a tétel első állítása alapján megoldása (H$_1$)-nek. Világos, hogy
\begin{equation*}
\psi\left(0\right)=\hat{c}_1e_1+...+\hat{c}_ne_n=\hat{\varphi}\left(0\right).
\end{equation*}
A Picard-Lindelöf-féle unicitástétel\cite{P-L} értelmében, ha $\hat{\varphi}$ és $\psi$ megoldások, és ${\psi\left(0\right)=\hat{\varphi}\left(0\right)}$, akkor $\hat{\varphi}\equiv\psi$, ami már maga után vonja a 3.\ állítást.
\end{proof}
\section{Inhomogén rendszerek}
\begin{defin}
Az
\begin{equation*}
\dot{X}\left(t\right)=AX\left(t\right)+b,\ A\in\mathbb{R}^{n\times n},\ X\left(t\right), b\in\mathbb{R}^{n}
\tag{IH$_1$}
\end{equation*}
egyenletrendszert \textit{inhomogén lineáris egyenletrendszer}nek nevezzük, melyben $X\left(t\right)=\left(X_1\left(t\right),X_2\left(t\right),...,X_n\left(t\right)\right)^{\text{T}}$ ismeretlen.
\end{defin}
\begin{allitas}
Ha $\psi_1$ és $\psi_2$ megoldásai (IH$_1$)-nek, akkor $\varphi=\psi_1-\psi_2$ megoldása (H$_1$)-nek.
\end{allitas}
\begin{proof}
Az állítás egyszerű behelyettesítéssel ellenőrizhető:
\begin{equation*}
\dot{\varphi}\left(t\right)=\dot{\psi_1}\left(t\right)-\dot{\psi_2}\left(t\right)=A\psi_1\left(t\right)+b-A\psi_2\left(t\right)-b=A\left(\psi_1\left(t\right)-\psi_2\left(t\right)\right)=A\varphi\left(t\right).
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{tetel}
\label{inhomalt}
Az (IH$_1$) egyenlet általános megoldása
\begin{equation}
X\left(t\right)=\underbrace{c_1\varphi_1\left(t\right)+...+c_n\varphi_n\left(t\right)}_{\text{(H$_1$) általános megoldása}}+\underbrace{\tilde{\varphi}\left(t\right)}_{\text{(IH$_1$) partikuláris megoldása}},\ t\in\mathbb{R},
\tag{MO}
\end{equation}
alakú.
\end{tetel}
\begin{proof}
Először behelyettesítéssel igazoljuk, hogy az ilyen alakú függvények megoldásai (IH$_1$)-nek, azaz bármely $c_1,...,c_n\in\mathbb{R}$ esetén $c_1\varphi_1+...+c_n\varphi_n+\tilde{\varphi}$ megoldása (IH$_1$)-nek.
Elvégezve a behelyettesítést,
\begin{equation*}
\begin{split}
&\left(c_1\varphi_1\left(t\right)+...+c_n\varphi_n\left(t\right)+\tilde{\varphi}\left(t\right)\right)'=c_1\dot{\varphi_1}\left(t\right)+...+c_n\dot{\varphi_n}\left(t\right)+\dot{\tilde{\varphi}}\left(t\right)=\\
&=c_1A\varphi_1\left(t\right)+...+c_nA\varphi_n\left(t\right)+\left(A\tilde{\varphi}\left(t\right)+b\right)=\\
&=A\underbrace{\left({c_1\varphi_1\left(t\right)+...+c_n\varphi_n\left(t\right)+\tilde{\varphi}\left(t\right)}\right)}_{X\left(t\right)}+b,\\
\end{split}
\end{equation*}
adódik, $X\left(t\right)$ tehát megoldás.

Most pedig megmutatjuk, hogy minden megoldás (MO)-alakban áll elő, azaz (IH$_1$) bármely $\hat{\psi}\left(t\right)$ megoldása esetén létezik $\hat{c}_1,...,\hat{c}_n\in\mathbb{R}$ úgy, hogy minden valós $t$ esetén
\begin{flalign*}
\hat{\psi}\left(t\right)=\hat{c}_1\varphi_1\left(t\right)+...+\hat{c}_n\varphi_n\left(t\right)+\tilde{\varphi}\left(t\right).
\end{flalign*}
Mivel tudjuk, hogy $\hat{\psi}-\tilde{\varphi}$ megoldása (H$_1$)-nek, így \aref{homalt}.\ Tétel 3.\ pontja szerint
\begin{equation*}
\hat{\psi}\left(t\right)-\tilde{\varphi}\left(t\right)=\hat{c}_1\varphi_1\left(t\right)+...+\hat{c}_n\varphi_n\left(t\right)
\end{equation*}
valamely $\hat{c}_1,...,\hat{c}_n\in\mathbb{R}$ konstansokkal. Azonnal látszik, hogy
\begin{center}
$\hat{\psi}\left(t\right)=\hat{c}_1\varphi_1\left(t\right)+...+\hat{c}_n\varphi_n\left(t\right)+\tilde{\varphi}\left(t\right).$
\end{center}
\end{proof}
\section{Konstans együtthatós, $n$-edrendű lineáris egyenletek}
\begin{defin}
Az
\begin{equation*}
Y^{\left(n\right)}+a_1Y^{\left(n-1\right)}+...+a_nY=0,\ a_1,...,a_n\in\mathbb{R}
\tag{H$_2$}
\end{equation*}
egyenletet \textit{homogén, $n$-edrendű, lineáris, konstans együtthatós egyenlet}nek, az
\begin{equation*}
Y^{\left(n\right)}+a_1Y^{\left(n-1\right)}+...+a_nY=s,\ a_1,...,a_n,s\in\mathbb{R}
\tag{IH$_2$}
\end{equation*}
egyenletet pedig \textit{inhomogén, $n$-edrendű, lineáris, konstans együtthatós egyenlet}nek nevezzük, ahol $Y=Y\left(t\right)$ ismeretlen függvény, $Y^{\left(i\right)}$ pedig $Y$ $i$-edik deriváltját jelöli, ${i\in\left\{1,2,...,n\right\}}$.
\end{defin}
Vegyük észre, hogy (IH$_1$) és (IH$_2$) ekvivalensek. Ehhez alkalmazzuk a következő megfeleltetést:
\begin{equation*}
X=
\begin{pmatrix}
X_1 \\
X_2 \\
\vdots \\
X_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Y \\
Y' \\
\vdots \\
Y^{\left(n-1\right)}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
így az
\begin{equation*}
\begin{cases}
    X_1'=X_2\\
    X_2'=X_3\\
		\vdots  \\
		X_n'=-a_1X_n-a_2X_{n-1}-...-a_nX_1+s
\end{cases}
\end{equation*}
egyenletrendszerre jutunk. Ez éppen (IH$_1$)-alakú úgy, hogy
\begin{equation*}
A=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\
-a_n & -a_{n-1} & -a_{n-2} &\dots & -a_2 & -a_1
\end{pmatrix}
\text{ és }
b=\left(0,0,...,0,s\right)^{\text{T}}.
\end{equation*}

Az ekvivalencia miatt a \ref{inhomalt}.\ Tételből azonnal adódik az alábbi állítás.
\begin{tetel}
\label{ih2alt}
(IH$_2$) általános megoldása 
\begin{equation*}
\Psi\left(t\right)=c_1\Psi_1\left(t\right)+...+c_n\Psi_n\left(t\right)+\tilde{\Psi}\left(t\right),\ t\in\mathbb{R},
\end{equation*}
alakú, ahol $\Psi_1,...,\Psi_n$ lineárisan független megoldásai (H$_2$)-nek, $\tilde{\Psi}$ pedig partikuláris megoldása (IH$_2$)-nek. A $\Psi_1,...,\Psi_n$ függvényeket \textit{alaprendszer}nek hívjuk.
\end{tetel}
Megjegyezzük, hogy $\Psi_i$ itt nem más, mint \ref{inhomalt}.\ Tételben szereplő $\varphi_i$ első komponense. A továbbiakban $n=3$-ra szorítkozva megmutatjuk, hogyan lehetséges az alaprendszer, azaz 3 darab lineárisan független megoldás meghatározása. Ehhez az
\begin{equation*}
Y^{\left(3\right)}+a_1Y^{\left(2\right)}+a_2Y^{\left(1\right)}+a_3Y=0
\tag{H$_3$}
\end{equation*}
homogén egyenletet vizsgáljuk.

Vegyük észre, hogy $Y\left(t\right)=e^{\lambda t}$-t behelyettesítve, majd $e^{\lambda t}$-vel egyszerűsítve a
\begin{equation}
\lambda^3+a_1\lambda^2+a_2\lambda+a_3=0
\label{eq:karegyenlet}
\end{equation}
\textit{karakterisztikus egyenlet}et kapjuk, melynek gyökeit \textit{sajátértékek}nek nevezzük. Azonnal látszik, hogy $\lambda$ akkor és csak akkor gyöke \eqref{eq:karegyenlet}-nek, ha $e^{\lambda t}$ megoldása (H$_3$)-nak. Tudjuk továbbá, hogy a karakterisztikus egyenletnek $\mathbb{C}$ felett 3 gyöke van: $\lambda_1,\lambda_2$ és $\lambda_3$.
\begin{allitas}
\label{alaprendszerek}
Négy esetet különböztetünk meg attól függően, hogy $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{C}$ sajátértékek hogyan helyezkednek el a komplex számsíkon:
\begin{enumerate}[a.]
\item Ha $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}$ páronként különbözők, akkor $\left\{e^{\lambda_1t},e^{\lambda_2t},e^{\lambda_3t}\right\}$ alaprendszer;
\item Ha $\lambda_1=\lambda_2\neq\lambda_3\in\mathbb{R}$, akkor $\left\{e^{\lambda_1t},te^{\lambda_1t},e^{\lambda_3t}\right\}$ alaprendszer;
\item Ha $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda\in\mathbb{R}$, akkor $\left\{e^{\lambda t},te^{\lambda t},t^2e^{\lambda t}\right\}$ alaprendszer;
\item Ha $\lambda_1=\gamma+i\omega,\ \lambda_2=\gamma-i\omega,\ \gamma,\omega\in\mathbb{R},\ \omega\neq0,\ \lambda_3\in\mathbb{R}$, akkor $\left\{e^{\gamma t}\cos\omega t,e^{\gamma t}\sin\omega t,e^{\lambda_3 t}\right\}$ alaprendszer.
\end{enumerate}
\end{allitas}
\begin{proof}
Az első három esetben behelyettesítéssel könnyen ellenőrizhető, hogy az egyes függvényrendszerek komponensei valóban megoldásai (H$_3$)-nak, valamint lineárisan függetlenek is, ezért alaprendszerek. 

Komplex konjugált sajátértékpár esetén (d.) tudjuk, hogy
\begin{equation*}
e^{\lambda_1t}=e^{\left(\gamma+i\omega\right)t}=e^{\gamma t}\left(\cos\omega t+i\sin\omega t\right)\text{ és }
e^{\lambda_2t}=e^{\left(\gamma-i\omega\right)t}=e^{\gamma t}\left(\cos\omega t-i\sin\omega t\right)
\end{equation*}
megoldásai (H$_3$)-nak, ezért tetszőleges lineáris kombinációjuk is megoldás, tehát
\begin{equation*}
\frac{e^{\lambda_1t}+e^{\lambda_2t}}{2}=e^{\gamma t}\cos\omega t\text{ és }
\frac{e^{\lambda_1t}-e^{\lambda_2t}}{2i}=e^{\gamma t}\sin\omega t
\end{equation*}
valós megoldásai (H$_3$)-nak. Könnyen belátható, hogy lineárisan függetlenek is, ezért az $\left\{e^{\gamma t}\cos\omega t,e^{\gamma t}\sin\omega t,e^{\lambda_3 t}\right\}$ függvényrendszer valóban alaprendszer.
\end{proof}
\chapter{A Chua-rendszer explicit megoldása és numerikus implementálása}
Ebben a fejezetben megmutatjuk, hogy a Chua-áramkört leíró differenciálegyenlet-rendszerről hogyan térhetünk át egy inhomogén, lineáris, harmadrendű, konstans együtthatós egyenletre. Meghatározzuk az ekvivalens probléma megoldásait a paraméterek és a kezdeti értékek függvényében, végül tárgyaljuk a numerikus implementáció során fellépő technikai nehézségeket.
\section{Az ekvivalens probléma, harmadrendű egyenlet}
Tekintsük a (\ref{eq:alapegyenletek_dimless}) egyenletrendszert, valamint vegyük észre, hogy $f$ szakaszonként ${f\left(x\right)=mx-d\left(1+m\right)},$ $m\in\left\{m_0,m_1\right\}$ alakú. Szorozzuk be (\ref{eq:alapegyenletek_dimless}) harmadik egyenletét $-1/\beta$-val és deriváljuk mindkét oldalt:
\begin{equation}
y=-\frac{1}{\beta}z^{\left(1\right)},\ y^{\left(1\right)}=-\frac{1}{\beta}z^{\left(2\right)}.
\label{eq:ipszilon}
\end{equation}
Behelyettesítve $y$-t és $y^{\left(1\right)}$-t (\ref{eq:alapegyenletek_dimless}) második egyenletébe az alábbiakat kapjuk $x$-re és $x^{\left(1\right)}$-ra:
\begin{equation*}
x=-\left(\frac{1}{\beta}z^{\left(2\right)}+\frac{1}{\beta}z^{\left(1\right)}+z\right), x^{\left(1\right)}=-\left(\frac{1}{\beta}z^{\left(3\right)}+\frac{1}{\beta}z^{\left(2\right)}+z^{\left(1\right)}\right).
\end{equation*}
Az így kapott összefüggéseket (\ref{eq:alapegyenletek_dimless}) első egyenletébe helyettesítve
\begin{equation*}
-\left(\frac{1}{\beta}z^{\left(3\right)}+\frac{1}{\beta}z^{\left(2\right)}+z^{\left(1\right)}\right)=-\frac{\alpha}{\beta}z^{\left(1\right)}+\alpha\left(1+m\right)\left(\frac{1}{\beta}z^{\left(2\right)}+\frac{1}{\beta}z^{\left(1\right)}+z\right)+\alpha\left(1+m\right)d
\end{equation*}
adódik. Végül, $\beta$-val szorozva, az alábbi harmadrendű egyenletet kapjuk:
\begin{equation*}
\boxed{
z^{\left(3\right)}+\left(1+\alpha+\alpha m\right)z^{\left(2\right)}+\left(\beta+\alpha m\right)z^{\left(1\right)}+\alpha\beta\left(1+m\right)z+\alpha\beta\left(1+m\right)d=0.
\tag{*}}
\end{equation*}
\begin{allitas}
A $z=-d$ partikuláris megoldása (*)-nak.
\end{allitas}
\begin{proof}
Az állítás egyszerű behelyettesítéssel ellenőrizhető:
\begin{equation*}
z=-d\Longrightarrow z^{\left(1\right)}=z^{\left(2\right)}=z^{\left(3\right)}=0\text{, ezért }\alpha\beta\left(1+m\right)(-d)+\alpha\beta\left(1+m\right)d=0.
\end{equation*}
Megjegyezzük, hogy az állítás következik abból is, hogy a (*)-al ekvivalens (\ref{eq:alapegyenletek_dimless}) rendszernek \aref{ehelyzetek}.\ Állítás szerint $\left(d,0,-d\right)^{\text{T}}$ egyensúlyi helyzete.
\end{proof}
\section{A megoldás meghatározása}
Tekintsük most (*) karakterisztikus egyenletét:
\begin{equation*}
\lambda^3+\left(1+\alpha+\alpha m\right)\lambda^2+\left(\beta+\alpha m\right)\lambda+\alpha\beta\left(1+m\right)=0,
\end{equation*}
melynek gyökei $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{C}$. Következő lépésként meghatározzuk a megoldást az ${\left(x\left(0\right),y\left(0\right),z\left(0\right)\right)^{\text{T}}}$ kezdeti érték, a $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ karakterisztikus gyökök és az $\alpha,\beta$ paraméterek függvényében. \Aref{alaprendszerek}.\ Állítás szerint négy eset kezelése szükséges:
\begin{enumerate}[a.]
\item Ha $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}$ páronként különböző, akkor \aref{ih2alt}.\ Tétel értelmében
\begin{equation*}
z\left(t\right)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}+c_3e^{\lambda_3t}-d,\ c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
Az ismeretlen együtthatók meghatározásához szükségünk van $z$-re, valamint annak első és második deriváltjára $t=0$-ban. Elvégezve a deriválásokat, behelyettesítve $t=0$-át, továbbá \eqref{eq:ipszilon}-et és (\ref{eq:alapegyenletek_dimless}) második egyenletét felhasználva
\begin{equation*}
\begin{split}
&z\left(0\right)=c_1+c_2+c_3-d,\\
&z^{\left(1\right)}\left(0\right)=\lambda_1c_1+\lambda_2c_2+\lambda_3c_3=-\beta y\left(0\right),\\
&z^{\left(2\right)}\left(0\right)=\lambda_1^2c_1+\lambda_2^2c_2+\lambda_3^2c_3=-\beta y^{\left(1\right)}\left(0\right)=-\beta\left[x\left(0\right)-y\left(0\right)+z\left(0\right)\right]\\
\end{split}
\end{equation*}
adódik. Ez $c_1,c_2,c_3$-ra nézve egy lineáris egyenletrendszer:
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
c_1\\
c_2 \\
c_3 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
\lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3\\
\lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \lambda_3^2\\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
z\left(0\right)+d\\
-\beta y\left(0\right) \\
-\beta\left[x\left(0\right)-y\left(0\right)+z\left(0\right)\right] \\
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\item Ha $\lambda_1=\lambda_2\neq\lambda_3\in\mathbb{R}$, akkor
\begin{equation*}
z\left(t\right)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2te^{\lambda_1t}+c_3e^{\lambda_3t}-d,
\end{equation*}
ezért
\begin{equation*}
\begin{split}
&z\left(0\right)=c_1+c_3-d,\\
&z^{\left(1\right)}\left(0\right)=\lambda_1c_1+c_2+\lambda_3c_3=-\beta y\left(0\right),\\
&z^{\left(2\right)}\left(0\right)=\lambda_1^2c_1+2\lambda_1c_2+\lambda_3^2c_3=-\beta\left[x\left(0\right)-y\left(0\right)+z\left(0\right)\right],\\
\end{split}
\end{equation*}
és
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
c_1\\
c_2 \\
c_3 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
\lambda_1 & 1 & \lambda_3\\
\lambda_1^2 & 2\lambda_1 & \lambda_3^2\\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
z\left(0\right)+d\\
-\beta y\left(0\right) \\
-\beta\left[x\left(0\right)-y\left(0\right)+z\left(0\right)\right] \\
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\item Ha $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda\in\mathbb{R}$, akkor
\begin{equation*}
z\left(t\right)=c_1e^{\lambda t}+c_2te^{\lambda t}+c_3t^2e^{\lambda t}-d,
\end{equation*}
ezért
\begin{equation*}
\begin{split}
&z\left(0\right)=c_1-d,\\
&z^{\left(1\right)}\left(0\right)=\lambda c_1+c_2=-\beta y\left(0\right),\\
&z^{\left(2\right)}\left(0\right)=\lambda^2c_1+2\lambda c_2+2c_3=-\beta\left[x\left(0\right)-y\left(0\right)+z\left(0\right)\right],\\
\end{split}
\end{equation*}
és
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
c_1\\
c_2 \\
c_3 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
\lambda & 1 & 0\\
\lambda^2 & 2\lambda & 2\\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
z\left(0\right)+d\\
-\beta y\left(0\right) \\
-\beta\left[x\left(0\right)-y\left(0\right)+z\left(0\right)\right] \\
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\item Ha $\lambda_1=\gamma+i\omega,\ \lambda_2=\gamma-i\omega,\ \gamma,\omega\in\mathbb{R},\ \omega\neq0,\ \lambda_3\in\mathbb{R}$, akkor
\begin{equation*}
z\left(t\right)=c_1e^{\gamma t}\cos\omega t+c_2e^{\gamma t}\sin\omega t+c_3e^{\lambda_3 t}-d,
\end{equation*}
ezért
\begin{equation*}
\begin{split}
&z\left(0\right)=c_1+c_3-d,\\
&z^{\left(1\right)}\left(0\right)=c_1\gamma+c_2\omega+c_3\lambda_3=-\beta y\left(0\right),\\
&z^{\left(2\right)}\left(0\right)=c_1\left(\gamma^2-\omega^2\right)+c_22\gamma\omega+c_3\lambda_3^2=-\beta\left[x\left(0\right)-y\left(0\right)+z\left(0\right)\right],\\
\end{split}
\end{equation*}
és
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
c_1\\
c_2 \\
c_3 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
\gamma & \omega & \lambda_3\\
\left(\gamma^2-\omega^2\right) & 2\gamma\omega & \lambda_3^2\\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
z\left(0\right)+d\\
-\beta y\left(0\right) \\
-\beta\left[x\left(0\right)-y\left(0\right)+z\left(0\right)\right] \\
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\end{enumerate}
\section{Numerikus implementálás, nehézségek}
Az előző szakaszban ismertettük a megoldás meghatározására szolgáló esetkezeléses eljárást. Ez alapján már lehetőségünk nyílik a Chua-rendszer viselkedésének, pályáinak numerikus meghatározására és vizsgálatára.
Ehhez \texttt{Matlab}-kódot\cite{matlab} készítettünk, amely megtalálható a dolgozat Függelékében.

A program folyamatosan vizsgálja, hogy $x$ pillanatnyi értéke melyik tartományba esik ($x<-1$, $-1\leq x\leq1$ vagy $x>1$), és ez alapján tekinti a megfelelő lineáris rendszert.

Ha a numerikusan meghatározott pálya átlép két tartomány határán (ekkor $x=1$ vagy $x=-1$), akkor új kezdeti értékként a törésponthoz tartozó $\left(x,y,z\right)^{\text{T}}$ értéket kell alkalmazni. Ennek minél pontosabb meghatározására van szükségünk, melyre számos iteratív numerikus technika létezik.

Mivel a program megvalósítása során a Bolzano-tételen alapuló \emph{felező módszer}t alkalmaztuk, ezért a tétel kimondása után egy példán megmutatjuk az algoritmus működését.
\begin{tetel}
\textit{(Bolzano)} Ha $f\colon\left[a,b\right]\mapsto\mathbb{R}$ korlátos és zárt (kompakt) intervallumon értelmezett folytonos függvény, és $f\left(a\right)f\left(b\right)<0$, akkor létezik $c\in\left(a,b\right)$ úgy, hogy $f\left(c\right)=0$.
\end{tetel}
A tétel tananyag, ezért a bizonyítást nem közöljük, az számos könyvben, jegyzetben (pl.\ \cite{bolzano}-ben) megtalálható.

Az alábbi példán megmutatjuk, hogyan alkalmazható a felező módszer a Chua-rendszer esetében a határátlépések esetén szükséges új kezdeti értékek meghatározására.
\begin{pelda}
Tegyük fel, hogy valamely $i\in\mathbb{N}$ időlépésre létezik
\begin{equation*}
\left(x_i,y_i,z_i\right)^{\text{T}}\text{ és }\left(x_{i+1},y_{i+1},z_{i+1}\right)^{\text{T}}\text{ úgy, hogy }x_i<-1=x_{\text{várt}}<x_{i+1}.
\end{equation*}
Ekkor tudjuk, hogy átléptünk az $x<-1$ tartományból a $-1\leq x\leq1$ tartományba. Legyen $\varepsilon$ adott. Meghatározandó az új $\left(\hat{x}\left(\varepsilon\right),\hat{y}\left(\varepsilon\right),\hat{z}\left(\varepsilon\right)\right)^{\text{T}}$ kezdeti feltétel a ${-1\leq x\leq1}$ tartományhoz tartozó lineáris rendszerhez.

Legyen $t_i$ és $t_{i+1}$ az idő értéke az $i$-edik és az $i+1$-edik időlépésben. Kezdetben $a_0=t_i,b_0=t_{i+1}$. A $k$-adik lépésben ($k=0,1,2,...$) járjunk el a következő, tetszőleges tartományátlépés esetén alkalmazható algoritmus szerint:
\begin{enumerate}
\item Határozzuk meg $\left(x\left(c_k\right),y\left(c_k\right),z\left(c_k\right)\right)^{\text{T}}$ értékét, ahol ${c_k=\left(a_k+b_k\right)/2}$, továbbá legyen $f\left(c_k\right)=x\left(c_k\right)-x_{\text{várt}}$;
\item Ha $\left|f\left(c_k\right)\right|<\varepsilon$, akkor $\left(\hat{x}\left(\varepsilon\right),\hat{y}\left(\varepsilon\right),\hat{z}\left(\varepsilon\right)\right)^{\text{T}}=\left(x\left(c_k\right),y\left(c_k\right),z\left(c_k\right)\right)^{\text{T}}$ és az algoritmus leáll;
\item Ha $\left|f\left(c_k\right)\right|\geq\varepsilon$, $f\left(c_k\right)<0$ és $f\left(a_k\right)<f\left(b_k\right)$, akkor $a_{k+1}=c_k$ és $b_{k+1}=b_k$;
\item Ha $\left|f\left(c_k\right)\right|\geq\varepsilon$, $f\left(c_k\right)<0$ és $f\left(a_k\right)>f\left(b_k\right)$, akkor $a_{k+1}=a_k$ és $b_{k+1}=c_k$;
\item Ha $\left|f\left(c_k\right)\right|\geq\varepsilon$, $f\left(c_k\right)>0$ és $f\left(a_k\right)>f\left(b_k\right)$, akkor $a_{k+1}=c_k$ és $b_{k+1}=b_k$;
\item Ha $\left|f\left(c_k\right)\right|\geq\varepsilon$, $f\left(c_k\right)>0$ és $f\left(a_k\right)<f\left(b_k\right)$, akkor $a_{k+1}=a_k$ és $b_{k+1}=c_k$.
\end{enumerate}
Könnyen belátható, hogy bármely $\left[a_{k+1},b_{k+1}\right]\subseteq\left[t_i,t_{i+1}\right]$ intervallum esetén $f\left(a_{n+1}\right)f\left(b_{n+1}\right)<0$, így a Bolzano-tétel miatt a kapott algoritmus tetszőlegesen kicsi $\varepsilon$ mellett véges időben lefut.

A gyakorlati tapasztalatok azt mutatják, hogy a numerikus problémák kiküszöbölésének érdekében az $\left(\hat{x}\left(\varepsilon\right),\hat{y}\left(\varepsilon\right),\hat{z}\left(\varepsilon\right)\right)^{\text{T}}$ kezdeti feltétel lehető legpontosabb meghatározására van szükség. Célszerű ezért $\varepsilon$ értékét minél kisebbre (pl.\ $\varepsilon=10^{-12}$) választani.
\end{pelda}
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
					/pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.34\linewidth,
					height=0.35\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
					y label style={rotate=-90,anchor=west},
          xlabel=$t$,
          ylabel=$x$,
        ]
        \addplot[thin,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./szimeredm/tx.csv}; 
      \end{axis}
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
					/pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.34\linewidth,
					height=0.35\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
					y label style={rotate=-90,anchor=west},
          xlabel=$t$,
          ylabel=$y$,
        ]
        \addplot[thin,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./szimeredm/ty.csv}; 
      \end{axis}
      \end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
					/pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.34\linewidth,
					height=0.35\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
					y label style={rotate=-90,anchor=west},
          xlabel=$t$,
          ylabel=$z$,
        ]
        \addplot[thin,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./szimeredm/tz.csv}; 
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{Szimulációs eredmények: az $x,y,z$ koordináták $t$ függvényében}
		\label{fig:eredmenyek1}
  \end{center}
\end{figure}
Az alábbiakban közlünk néhány szimulációs eredményt, melyek \aref{fig:eredmenyek1}., \ref{fig:eredmenyek2}.\ és \ref{fig:eredmenyek3}.\ ábrákon láthatók. Az eremények a következő paraméterek mellett adódtak:

$C_1=10$ nF, $C_2=156$ nF, $G=1$ mS, $L=6$ mH, $G_a=1,5G$, $G_b=-0,7G$, $t\in\left[0,40\right] s$, az időlépések száma $i=2000$.

A villamos paraméterekből származtatott dimenzió nélküli együtthatók és a kezdeti érték:

$\alpha=15,6$, $\beta=26$, $m_0=-1,5$, $m_1=-0,7$, $\left(x\left(0\right),y\left(0\right),z\left(0\right)\right)^{\text{T}}=\left(-0.7,0,0\right)^{\text{T}}$.

Az egyes szakaszokhoz tartozó sajátértékek a következők:
\begin{equation*}
\lambda\left(\alpha,\beta,m_0\right)\approx
\begin{pmatrix}
9,0097\\
-1,1049+4,6139i \\
-1,1049-4,6139i \\
\end{pmatrix},\
\lambda\left(\alpha,\beta,m_1\right)\approx
\begin{pmatrix}
-6,3328\\
0,3264+4,3712i \\
0,3264-4,3712i \\
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
					/pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.48\linewidth,
					height=0.48\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
					y label style={rotate=-90,anchor=west},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
        ]
        \addplot[thin,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./szimeredm/xy.csv}; 
      \end{axis}
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
			    /pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.48\linewidth,
					height=0.48\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
					y label style={rotate=-90,anchor=west},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$z$,
        ]
        \addplot[thin,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./szimeredm/xz.csv}; 
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{Szimulációs eredmények: $y$ és $z$ függése $x$-től}
		\label{fig:eredmenyek2}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
			    /pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.76\linewidth,
					height=0.76\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
					zlabel=$z$,
					z label style={rotate=-90,anchor=west}
        ]
        \addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./szimeredm/xyz.csv}; 
      \end{axis}
			\end{tikzpicture}
    \caption{A rendszer pályája}
		\label{fig:eredmenyek3}
  \end{center}
\end{figure}
\chapter{Hopf-bifurkáció}
Ebben a fejezetben egy kétdimenziós példán keresztül ismertetjük a Hopf-bifurkációt. Az elméleti áttekintés után numerikus módszerek segítségével mutatunk példát a jelenségre a dolgozatban vizsgált Chua-rendszerben.
\section{Elméleti bevezető}
Hopf-bifurkáció során $-$ valamely rendszerparaméter megváltoztatásával $-$ egyensúlyi helyzet környezetében periodikus pálya jön létre vagy tűnik el. Ennek szükséges feltétele, hogy a rendszer valamely egyensúlyi helyzetében felírt Jacobi-mátrix komplex konjugált sajátértékeinek valós része a paraméterváltoztatás során előjelet váltson.

A jelenség bemutatásához tekintsük a következő kétdimenziós rendszert, ahol $\mu\in\mathbb{R}$ paraméter:
\begin{equation}
\begin{cases}
    \dot{x}=\underbrace{\mu x-y-x\left(x^2+y^2\right)}_{g\left(x,y\right)},\\
    \dot{y}=\underbrace{x+\mu y-y\left(x^2+y^2\right)}_{h\left(x,y\right)}.\\
\end{cases}
\label{eq:hopf1}
\end{equation}

Azonnal látszik, hogy $\left(0,0\right)$ tetszőleges $\mu$ esetén egyensúlyi helyzet. A Jacobi-mátrixhoz tekintsük az alábbi deriváltakat:
\begin{equation*}
\begin{split}
&\partial_xg\left(x,y\right)=\mu-3x^2-y^2,\ \partial_yg\left(x,y\right)=-2xy-1,\\
&\partial_xh\left(x,y\right)=1-2xy,\hspace{10mm} \partial_yh\left(x,y\right)=\mu-3y^2-x^2,\\
\end{split}
\end{equation*}
melyek alapján a $\left(0,0\right)$-hoz tartozó Jacobi-mátrix:
\begin{equation*}
J\left(0,0\right)=
\begin{pmatrix}
\mu & -1\\
1 &\ \mu\\
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Könnyen megmutatható, hogy $J\left(0,0\right)$ sajátértékei: $\mu\pm i$. Világos, hogy ezek a sajátértékek $\mu=0$ esetén a képzetes tengelyre esnek, és ha $\mu$ áthalad a nullán, akkor a valós részük előjelet vált.

Legyen $z=x+iy$ komplex változó. Ekkor $\dot{z}=\dot{x}+i\dot{y}$. Behelyettesítve (\ref{eq:hopf1}) egyenleteit, valamint felhasználva, hogy $\left|z\right|^2=x^2+y^2$, egyszerűen ellenőrizhető, hogy fennál a
\begin{equation*}
\dot{z}=\left(\mu+i\right)z-z\left|z\right|^2
\end{equation*}
egyenlőség. Térjünk át polárkoordinátákra, azaz legyen $z=re^{i\varphi}$, ahol $r=\left|z\right|$ és $\tan\varphi=\mathcal{I}m\left(z\right)/\mathcal{R}e\left(z\right)$. Figyelembe véve, hogy ebben az esetben $z$, $r$ és $\varphi$ is $t$ függvénye, a polárkoordinátás formula deriválásával azt kapjuk, hogy
\begin{equation*}
\dot{z}=\dot{r}e^{i\varphi}+re^{i\varphi}i\dot{\varphi}.
\end{equation*}
Tegyük egyenlővé a $\dot{z}$-ra kapott két összefüggést úgy, hogy $z$ helyett annak polárkoordinátás alakját használjuk. Így azt kapjuk, hogy
\begin{equation*}
\dot{r}e^{i\varphi}+re^{i\varphi}i\dot{\varphi}=\left(\mu+i\right)re^{i\varphi}-re^{i\varphi}r^2.
\end{equation*}
Egyszerűsítve az $e^{i\varphi}$ nemnulla tényezővel az $\dot{r}+ir\dot{\varphi}=\left(\mu+i\right)r-r^3$ összefüggésre jutunk.

Ez akkor és csak akkor teljesül, ha az egyenlet két oldalán elhelyezkedő valós és képzetes részek megegyeznek, ami az alábbi egyenletrendszerre vezet:
\begin{equation*}
\begin{cases}
    \dot{r}=r\left(\mu-r^2\right),\\
    \dot{\varphi}=1.\\
\end{cases}
\end{equation*}

A $\mu$ paraméter függvényében három esetet szükséges vizsgálni:
\begin{enumerate}
\item Ha $\mu=0$, akkor $\dot{r}=-r^3$. Tudjuk, hogy $r$ pozitív, hiszen $r=\left|z\right|>0$, ezért $-r^3<0$, így $\dot{r}<0$, azaz $r$ szigorúan monoton csökken, tehát a $\left(0,0\right)$ egyensúlyi helyzet stabil. (A konkrét példánál globálisan aszimptotikusan stabil.)
\item Ha $\mu<0$, akkor bármely $r$ esetén $r\left(\mu-r^2\right)<0$, tehát $\dot{r}<0$. Látjuk, hogy $r$ ebben az esetben is szigorúan monoton csökken, de kis $\left|r\right|$ esetén az előzőnél gyorsabban.
\item Ha $\mu>0$, akkor három aleset lehetséges:
\begin{itemize}
\item Ha $r=\sqrt{\mu}$, akkor $\dot{r}=0$, $r$ konstans, tehát van egy $\sqrt{\mu}$ sugarú periodikus pálya;
\item Ha $r>\sqrt{\mu}$, akkor $\dot{r}$ negatív, $r$ tehát szigorúan monoton csökken;
\item Ha $0<r<\sqrt{\mu}$, akkor $\dot{r}$ pozitív, $r$ ezért szigorúan monoton nő.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\begin{figure}[h]
\centering
\tikzsetnextfilename{szuperkritikhopf}
\begin{tikzpicture}[x=1.15cm]
\begin{scope}
\draw [->] (-1.8,0) -- (1.8,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw [->] (0,-1.8) -- (0,1.8) node[anchor=west] {$y$};
\draw [->] [domain=15:34,variable=\t,smooth,samples=75]
        plot ({\t r}: {10/(0.0025*\t*\t*\t)});
\draw (0.55,-1.8) node[anchor=north east] {$\mu<0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[x=1.15cm]
\begin{scope}
\draw [->] (-1.8,0) -- (1.8,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw [->] (0,-1.8) -- (0,1.8) node[anchor=west] {$y$};
\draw [->] [domain=19:40,variable=\t,smooth,samples=75]
        plot ({\t r}: {1/(0.002*\t*\t)});
\draw (0.55,-1.8) node[anchor=north east] {$\mu=0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[x=1.15cm]
\begin{scope}
\draw [->] (-1.8,0) -- (1.8,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw [->] (0,-1.8) -- (0,1.8) node[anchor=west] {$y$};
\draw[decoration = {markings,mark=at position .11 with
             {\arrow[black]{Latex[length=1.5mm]}},mark=at position .44 with
             {\arrow[black]{Latex[length=1.5mm]}},mark=at position .65 with
             {\arrow[black]{Latex[length=1.5mm]}},,mark=at position .88 with
             {\arrow[black]{Latex[length=1.5mm]}}},postaction={decorate}] (0cm,0cm) circle(0.8cm);
\draw [->] [domain=11:18,variable=\t,smooth,samples=75]
        plot ({\t r}: {0.002*\t*\t});
\draw [->] [domain=19:24,variable=\t,smooth,samples=75]
        plot ({\t r}: {1/(0.002*\t*\t)});
\draw (0.55,-1.8) node[anchor=north east] {$\mu>0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Szuperkritikus Hopf-bifurkáció}
\label{fig:szuperkritikhopf}
\end{figure}

Azt látjuk, hogy $\mu>0$ esetén a $\left(0,0\right)$ egyensúlyi helyzet instabil, és a periodikus megoldás orbitálisan aszimptotikusan stabil. Ez azt jelenti, hogy a periodikus pályához közel indított megoldások örökre közel maradnak, és a periodikus pályának létezik olyan környezete, hogy az abból indított megoldások a periodikus pályához konvergálnak.

Ezt a jelenséget \emph{szuperkritikus Hopf-bifurkáció}nak nevezzük. A különböző paraméterekhez tartozó fázisképeket \aref{fig:szuperkritikhopf}.\ ábrán szemléltetjük.

Tekintsük most az alábbi rendszert:
\begin{equation}
\begin{cases}
    \dot{x}=\mu x-y+x\left(x^2+y^2\right),\\
    \dot{y}=x+\mu y+y\left(x^2+y^2\right).\\
\end{cases}
\label{eq:hopf2}
\end{equation}
Az előző esettel teljesen analóg módon eljárva azt kapjuk, hogy (\ref{eq:hopf2}) ekvivalens az alábbi rendszerrel:
\begin{equation*}
\begin{cases}
    \dot{r}=r\left(\mu+r^2\right),\\
    \dot{\varphi}=1.\\
\end{cases}
\end{equation*}
Ezúttal is három esetet szükséges vizsgálni $\mu$ paramétertől függően:
\begin{enumerate}
\item Ha $\mu=0$, akkor $\dot{r}=r^3$ pozitív, azaz $r$ szigorúan monoton nő, tehát a $\left(0,0\right)$ egyensúlyi helyzet instabil.
\item Ha $\mu>0$, akkor bármely $r$ esetén $r\left(\mu+r^2\right)>0$, ezért $\dot{r}$ pozitív. Látjuk, hogy $r$  ebben az esetben is szigorúan monoton nő, de kis $\left|r\right|$ esetén az előzőnél gyorsabban.
\item Ha $\mu<0$, akkor három aleset lehetséges:
\begin{itemize}
\item Ha $r=\sqrt{-\mu}$, akkor $\dot{r}=0$, $r$ tehát konstans és van egy $\sqrt{-\mu}$ sugarú periodikus pálya;
\item Ha $r>\sqrt{-\mu}$, akkor $\dot{r}$ pozitív, $r$ ezért szigorúan monoton nő;
\item Ha $0<r<\sqrt{-\mu}$, akkor $\dot{r}$ negatív, $r$ tehát szigorúan monoton csökken.
\end{itemize}
\end{enumerate}
Azt látjuk, hogy ekkor a $\left(0,0\right)$ egyensúlyi helyzet stabil, a periodikus pálya pedig instabil. A rendszer ekkor \emph{szubkritikus Hopf-bifurkáció}n megy keresztül. A különböző paraméterekhez tartozó fázisképeket \aref{fig:szubkritikhopf}.\ ábra szemlélteti.
\begin{figure}[h]
\centering
\tikzsetnextfilename{szuperkritikhopf}
\begin{tikzpicture}[x=1.15cm]
\begin{scope}
\draw [->] (-1.8,0) -- (1.8,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw [->] (0,-1.8) -- (0,1.8) node[anchor=west] {$y$};
\draw[decoration = {markings,mark=at position .11 with
             {\arrow[black]{Latex[length=1.5mm]}},mark=at position .44 with
             {\arrow[black]{Latex[length=1.5mm]}},mark=at position .65 with
             {\arrow[black]{Latex[length=1.5mm]}},mark=at position .88 with
             {\arrow[black]{Latex[length=1.5mm]}}},postaction={decorate}] (0cm,0cm) circle(0.8cm);
\draw [<-] [domain=45:28,variable=\t,smooth,samples=75]
        plot ({\t r}: {1/(0.002*\t*\t)});
\draw [->] [domain=20.5:27,variable=\t,smooth,samples=75]
        plot ({\t r}: {(0.002*\t*\t)});
\draw (0.55,-1.8) node[anchor=north east] {$\mu<0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[x=1.15cm]
\begin{scope}
\draw [->] (-1.8,0) -- (1.8,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw [->] (0,-1.8) -- (0,1.8) node[anchor=west] {$y$};
\draw [->] [domain=10:25,variable=\t,smooth,samples=75]
        plot ({\t r}: {(0.002*\t*\t)});
\draw (0.55,-1.8) node[anchor=north east] {$\mu=0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[x=1.15cm]
\begin{scope}
\draw [->] (-1.8,0) -- (1.8,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw [->] (0,-1.8) -- (0,1.8) node[anchor=west] {$y$};
\draw [->] [domain=5:13,variable=\t,smooth,samples=75]
        plot ({\t r}: {(0.007*\t*\t)});
\draw (0.55,-1.8) node[anchor=north east] {$\mu>0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Szubkritikus Hopf-bifurkáció}
\label{fig:szubkritikhopf}
\end{figure}
\section{Hopf-bifurkáció a Chua-rendszerben}
Ebben a szakaszban numerikus vizsgálatok segítségével mutatunk példát szuperkritikus Hopf-bifurkációra a Chua-rendszerben. Ehhez tekintsük ismét a (\ref{eq:alapegyenletek_dimless}) egyenletrendszert. Elvégezve az egyenletek jobb oldalának $x$-, $y$- és $z$-szerinti deriválását a következő Jacobi-mátrixot kapjuk:
\begin{equation*}
J\left(x,y,z\right)=
\begin{pmatrix}
-\alpha\left(1+m_1\right) & \alpha & 0\\
1 & -1 & 1\\
0 & -\beta & 0\\
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Látjuk, hogy a Jacobi-mátrix nem függ az $x$, $y$ és $z$ változóktól. Olyan $\alpha_0$ és $\beta_0$ paramétereket keresünk $m_1=-0,7$ mellett, hogy ha $\alpha$ áthalad $\alpha_0$-on és $\beta$ rögzítve van $\beta_0$-ban, akkor $J$ komplex konjugált sajátértékeinek valós része előjelet vált.
\begin{figure}[h]
\centering
\tikzsetnextfilename{kritikalphakeres}
\begin{tikzpicture}[x=1.15cm]
\begin{scope}
\draw [->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[anchor=west] {$\mathcal{R}e$};
\draw [->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[anchor=west] {$\mathcal{I}m$};
\node [black] at (-0.5,1) {$\times$};
\node [black] at (-0.5,-1) {$\times$};
\node [black] at (-1.3,0) {$\times$};
\draw (0.7,-1.7) node[anchor=north east] {$\alpha<\alpha_0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[x=1.15cm]
\begin{scope}
\draw [->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[anchor=west] {$\mathcal{R}e$};
\draw [->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[anchor=west] {$\mathcal{I}m$};
\node [black] at (0,1) {$\times$};
\node [black] at (0,-1) {$\times$};
\node [black] at (-1.2,0) {$\times$};
\draw [thick] (-0.05,1) -- (0.05,1);
\draw [thick] (-0.05,-1) -- (0.05,-1);
\draw [thick] (-1.2,0.05) -- (-1.2,-0.05);
\draw (0.1,1) node[anchor=north east] {\tiny{$1,5991i$}};
\draw (0.1,-1) node[anchor=north east] {\tiny{$-1,5991i$}};
\draw (-0.7,-0.12) node[anchor=north east] {\tiny{$-2,0469$}};
\draw (0.7,-1.7) node[anchor=north east] {$\alpha=\alpha_0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[x=1.15cm]
\begin{scope}
\draw [->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[anchor=west] {$\mathcal{R}e$};
\draw [->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[anchor=west] {$\mathcal{I}m$};
\node [black] at (0.55,1) {$\times$};
\node [black] at (0.55,-1) {$\times$};
\node [black] at (-1.15,0) {$\times$};
\draw (0.7,-1.7) node[anchor=north east] {$\alpha>\alpha_0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{A Jacobi-mátrix sajátértékei $\alpha_0$ környezetében}
\label{fig:jacobi1}
\end{figure}

A \cite{alapchua} dolgozat szerint ha $d\neq0$ és $\beta_0\in\left(0,15\right)$, akkor létezik ilyen $\alpha_0$ a $\left(0,5\right)$ intervallumban. Legyen $\beta=\beta_0=5$ és $m_1=-0,7$ rögzített. Ezen feltételeket figyelembe véve \texttt{Matlab}-kódot írtunk azon kritikus $\alpha=\alpha_0$ meghatározására, amely esetén a Jacobi-mátrix komplex konjugált sajátértékei éppen a képzetes tengelyre esnek. A kódot a dolgozat Függeléke tartalmazza.
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[font=\tiny]
      \begin{axis}[
					/pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.28\linewidth,
					height=0.3\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
					zlabel=$z$,
					z label style={rotate=-90},
        ]
        \addplot3[thin,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/aka0.csv} [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.05 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
			\addplot3[thin,mark=x,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/eh.csv};
      \end{axis}
			\draw (1.75,-0.85) node[anchor=north east] {$\alpha<\alpha_0$};
			\end{tikzpicture}
    \begin{tikzpicture}[font=\tiny]
      \begin{axis}[
					/pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.28\linewidth,
					height=0.3\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=\tiny{$x$},
          ylabel=\tiny{$y$},
					zlabel=\tiny{$z$},
					z label style={rotate=-90}
        ]
        \addplot3[thin,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/aea0.csv} [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.03 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
			\addplot3[thin,mark=x,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/eh.csv};
      \end{axis}
			\draw (1.75,-0.85) node[anchor=north east] {$\alpha=\alpha_0$};
			\end{tikzpicture}
    \begin{tikzpicture}[font=\tiny]
      \begin{axis}[
					/pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.28\linewidth,
					height=0.3\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
					zlabel=$z$,
					z label style={rotate=-90}
        ]
        \addplot3[thin,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/ana0_1.csv} [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.03 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
			  \addplot3[thin,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/ana0_2.csv} [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.03 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
			}}];
				\addplot3[thin,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/ana0_3.csv} [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.1 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
			\addplot3[thin,mark=x,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/eh.csv};
      \end{axis}
			\draw (1.75,-0.85) node[anchor=north east] {$\alpha>\alpha_0$};
			\end{tikzpicture}
      \caption{Fázisképek különböző $\alpha$ paraméterek esetén}
		  \label{fig:hopfbif_eredmenyek}
\end{center}
\end{figure}

A szimulációs eredmények alapján a kritikus $\alpha$-érték a megadott feltételek mellett $\alpha_0\approx3,4896$. A Jacobi-mátrix sajátértékeinek viselkedését \aref{fig:jacobi1}.\ ábrán, a rendszer fázisképeit különböző $\alpha$ paraméterek és $m_0=1,5$ esetén, az $\left(\left(m_1-m_0\right)/\left(1+m_1\right),0,\left(m_0-m_1\right)/\left(1+m_1\right)\right)^{\text{T}}$ egyensúlyi helyzet környezetében pedig \aref{fig:hopfbif_eredmenyek}.\ ábrán szemléltetjük.

A numerikus vizsgálatok alapján kapott fázisképek azt mutatják, hogy $\alpha\leq\alpha_0$ esetén az $\left(\left(m_1-m_0\right)/\left(1+m_1\right),0,\left(m_0-m_1\right)/\left(1+m_1\right)\right)^{\text{T}}$ egyensúlyi helyzet stabil, de $\alpha>\alpha_0$ esetén ez az egyensúlyi helyzet instabil, és megjelenik egy aszimptotikusan stabil periodikus pálya.
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[font=\small]
      \begin{axis}[
					/pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.48\linewidth,
					height=0.48\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
					y label style={rotate=-90},
          xlabel=$\alpha-\alpha_0$,
          ylabel=$A$,
					scaled x ticks=true,
        ]
        \addplot[line width=0.8pt,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./hopfbifurk/bifdiagram.csv};
				\addplot[dashed, line width=0.8pt,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./hopfbifurk/bifdiagram_zero.csv};
      \end{axis}
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}[font=\small]
      \begin{axis}[
					/pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.48\linewidth,
					height=0.48\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
					y label style={rotate=-90},
          xlabel=$\alpha-\alpha_0$,
          ylabel=$A$,
					scaled x ticks=true,
        ]
        \addplot[line width=0.8pt,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./hopfbifurk/bifdiagram_nagyalpha.csv};
				\addplot[dashed, line width=0.8pt,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./hopfbifurk/bifdiagram_nagyalpha_zero.csv};
      \end{axis}
			\end{tikzpicture}
    \caption{Bifurkációs diagramok}
		\label{fig:bifdiagram}
  \end{center}
\end{figure}

Azt látjuk, hogy a Chua-rendszer szuperkritikus Hopf-bifurkáción megy keresztül. A rendszer bifurkációs diagramját, azaz a periodikus pálya $A$ amplitúdóját $\alpha$ függvényében különböző tartományok és $\alpha>\alpha_0$ esetén \aref{fig:bifdiagram}.\ ábra szemlélteti, \aref{fig:hopfpalyak}.\ ábrán pedig néhány periodikus pálya numerikus közelítése látható.
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
			    /pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.63\linewidth,
					height=0.63\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
					zlabel=$z$,
					z label style={rotate=-90}
        ]
			  \addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/palyak/1.csv} [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 1 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
				\addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/palyak/2.csv} [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 1 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
				\addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/palyak/3.csv} [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 1 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
				\addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/palyak/4.csv} [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 1 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
				\addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/palyak/5.csv} [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 1 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
				\addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/palyak/6.csv} [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 1 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
				\addplot3[thin,mark=x,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./hopfbifurk/eh.csv};
      \end{axis}
			\end{tikzpicture}
    \caption{Periodikus pályák}
		\label{fig:hopfpalyak}
  \end{center}
\end{figure}
\chapter{Perióduskettőző (flip-) bifurkáció}
Ebben a fejezetben egy példa segítségével ismertetjük a perióduskettőző (más néven flip-) bifurkációt leképezésekre, majd megmutatjuk, mit jelent a periódukettőző bifurkáció differenciálegyenlet-rendszerek esetén. Az elméleti bevezetőt követően példát mutatunk a jelenségre a Chua-rendszerben.
\section{Flip-bifurkáció leképezések esetén}
A perióduskettőző (vagy flip-) bifurkáció bemutatásához tekintsük az
\begin{equation*}
f\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\ni\left(x,\alpha\right)\mapsto-\left(1+\alpha\right)x+x^3\in\mathbb{R}
\label{eq:biflekep}
\end{equation*}
leképezést $\left(0,0\right)$ közelében, és vezessük be az $f_\alpha\left(x\right)=f\left(x,\alpha\right),\ x\in\mathbb{R},$ jelölést.
\begin{defin}
\label{fixpont}
Legyen $\varphi\colon\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ leképezés, és legyen $x\in\mathbb{R}$. Azt mondjuk, hogy $x$ a $\varphi$ leképezés \emph{fixpont}ja, ha $\varphi\left(x\right)=x$.
\end{defin}
Világos, hogy az $f_\alpha$ leképezés fixpontjai éppen az $x=-\left(1+\alpha\right)x+x^3$ egyenlet megoldásai. Azonnal látszik, hogy $x=0$ fixpont. Ha $x\neq0$, akkor
\begin{center}
$1=-1-\alpha+x^2\Longleftrightarrow2+\alpha=x^2\Longleftrightarrow x=\pm\sqrt{2+\alpha}\not\approx0$, ha $\left|\alpha\right|$ kicsi,
\end{center}
ezért az $x=0$ a leképezés egyetlen origóközeli fixpontja.

Leképezések esetén a bifurkáció szükséges feltétele, hogy a fixpontban vett deriváltnak legyen olyan sajátértéke, ami az egységkörre esik. Tekintsük $f$ $x$-szerinti deriváltját: ${f'_x=-\left(1+\alpha\right)+3x^2}$. Látjuk, hogy ${f'_x\left(0,\alpha\right)=-\left(1+\alpha\right)}$, ezért $\alpha=0$ esetén $f'_x\left(0,0\right)=-1$, ami az egységkörre esik.

Vizsgáljuk most a leképezés második iteráltjának fixpontjait:
\begin{center}
$f^2_\alpha\left(x\right)=f_\alpha\left(f_\alpha\left(x\right)\right)=-\left(1+\alpha\right)f_\alpha\left(x\right)+\left(f_\alpha\left(x\right)\right)^3.$
\end{center}
Elvégezve a behelyettesítést, valamint figyelembe véve, hogy $\left|x\right|$ kicsi,
\begin{center}
$f^2_\alpha\left(x\right)=\left(1+\alpha\right)^2x-\left[\left(1+\alpha\right)+\left(1+\alpha\right)^3\right]x^3+\mathcal{O}\left(x^5\right)=\left(1+\alpha\right)^2x+\mathcal{O}\left(x^3\right)$
\end{center}
írható fel. Az világos, hogy $x=0$ fixpontja $f_\alpha^2$-nek is. Megmutatható, hogy $f^2_\alpha$-nek csak $\alpha>0$ esetén létezik további nemtriviális fixpontja, és belátható az is, hogy pontosan kettő ilyen van: $\sqrt{\alpha}$ és $-\sqrt{\alpha}$. Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy $f_\alpha\left(\pm\sqrt{\alpha}\right)=\mp\sqrt{\alpha}$, azaz $f^2_\alpha$ fixpontjai éppen $f_\alpha$ 2-periodikus pályáját adják.

Vizsgáljuk meg az úgynevezett pókháló-módszer segítségével $f_\alpha$ fixpontjának, valamint 2-periodikus pályájának stabilitását.
\begin{figure}[h]
\centering
\tikzsetnextfilename{fixpont-pokhalo}
\begin{tikzpicture}[x=1cm]
\begin{scope}
\draw [->] (-3.2,0) -- (3.2,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw [->] (0,-3.2) -- (0,3.2) node[anchor=west] {$y$};
\draw [dashed] (-3.0,-3.0) -- (3.0,3.0) node[anchor=west]{\scriptsize{$y=x$}};
\draw [dashed] (-3.0,3.0) -- (3.0,-3.0) node[anchor=east]{\scriptsize{$y=-x$}};
\draw [scale=10,domain=-0.3:0.3,smooth,variable=\x, line width=0.25mm] plot ({\x},{-(1-0.45)*\x+\x*\x*\x}) node[anchor=west]{\scriptsize{$f_\alpha$}};
\draw [fill] (2,0) circle [radius=1pt];
\draw (1.9,0.2) node[anchor=west] {\tiny{$\left(x_0,0\right)$}};
\draw (2,0) -- (2,-1.01) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.5 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (2,-1.01) circle [radius=1pt];
\draw (1.9,-0.9) node[anchor=west] {\tiny{$(x_0,x_1)$}};
\draw (2,-1.01) -- (-1.01,-1.01) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.5 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (-1.01,-1.01) circle [radius=1pt];		
\draw (-1.2,-1.2) node[anchor=west] {\tiny{$(x_1,x_1)$}};
\draw [fill] (-1.01,0.539) circle [radius=1pt];	
\draw (-1.01,-1.01) -- (-1.01,0.539) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.5 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (-2.1,0.41) node[anchor=west] {\tiny{$(x_1,x_2)$}};
\draw [fill] (0.539,0.539) circle [radius=1pt];
\draw (-1.01,0.539) -- (0.539,0.539) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.5 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (0.539,0.539) node[anchor=west] {\tiny{$(x_2,x_2)$}};
\draw [fill] (0.539,-0.29) circle [radius=1pt];
\draw (0.539,0.539) -- (0.539,-0.29) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.5 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (0.52,-0.28) node[anchor=west] {\tiny{$(x_2,x_3)$}};
\draw [fill] (-0.29,-0.29) circle [radius=1pt];
\draw (0.539,-0.29) -- (-0.29,-0.29) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.5 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (-0.29,0.16) circle [radius=1pt];
\draw (-0.29,-0.29) -- (-0.29,0.16) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.5 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (0.16,0.16) circle [radius=1pt];
\draw (-0.29,0.16) -- (0.16,0.16) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.98 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (0.7,-3.2) node[anchor=north east] {$\alpha<0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[x=1cm]
\begin{scope}
\draw [->] (-3.3,0) -- (3.3,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw [->] (0,-3.3) -- (0,3.3) node[anchor=west] {$y$};
\draw [dashed] (-3.0,-3.0) -- (3.0,3.0) node[anchor=west] {\scriptsize{$y=x$}};
\draw [dashed] (-3.0,3.0) -- (3.0,-3.0) node[anchor=east] {\scriptsize{$y=-x$}};
\draw [scale=5,domain=-0.7:0.7,smooth,variable=\x, line width=0.25mm] plot ({\x},{-(1+0.27)*\x+\x*\x*\x}) node[anchor=west]{\scriptsize{$f_\alpha$}};
\draw [fill] (1.5,0) circle [radius=1pt];
\draw (1,0.15) node[anchor=west] {\tiny{$\left(x_0,0\right)$}};
\draw [fill] (-2.55,2.55) circle [radius=2pt];
\draw (-2.6,2.8) node[anchor=west] {\tiny{$(-\sqrt{\alpha},\sqrt{\alpha})$}};
\draw [fill] (2.55,-2.55) circle [radius=2pt];
\draw (2.5,-2.3) node[anchor=west] {\tiny{$(\sqrt{\alpha},-\sqrt{\alpha})$}};
\draw [fill] (1.5,-1.77) circle [radius=1pt];
\draw (1.5,0) -- (1.5,-1.77) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.5 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (0.5,-1.95) node[anchor=west] {\tiny{$\left(x_0,x_1\right)$}};
\draw [fill] (-1.77,-1.77) circle [radius=1pt];
\draw (1.5,-1.77) -- (-1.77,-1.77) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.5 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (-2,-2) node[anchor=west] {\tiny{$\left(x_1,x_1\right)$}};
\draw [fill] (-1.77,2.03) circle [radius=1pt];
\draw (-1.77,-1.77) -- (-1.77,2.03) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.5 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (-1.9,2.2) node[anchor=west] {\tiny{$\left(x_1,x_2\right)$}};
\draw [fill] (2.03,2.03) circle [radius=1pt];
\draw (-1.77,2.03) -- (2.03,2.03) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.5 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (1.1,2.2) node[anchor=west] {\tiny{$\left(x_2,x_2\right)$}};
\draw [fill] (2.03,-2.25) circle [radius=1pt];
\draw (2.03,2.03) -- (2.03,-2.25) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (1,-2.385) node[anchor=west] {\tiny{$\left(x_2,x_3\right)$}};
\draw [fill] (-2.25,-2.25) circle [radius=1pt];
\draw (2.03,-2.25) -- (-2.25,-2.25) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (-2.25,-2.37) node[anchor=west] {\tiny{$\left(x_3,x_3\right)$}};
\draw [fill] (-2.25,2.4) circle [radius=1pt];
\draw (-2.25,-2.25) -- (-2.25,2.4) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (2.4,2.4) circle [radius=1pt];
\draw (-2.25,2.4) -- (2.4,2.4) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (2.4,-2.5) circle [radius=1pt];
\draw (2.4,2.4) -- (2.4,-2.5) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (-2.5,-2.5) circle [radius=1pt];
\draw (2.4,-2.5) -- (-2.5,-2.5) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (-2.5,2.55) circle [radius=1pt];
\draw (-2.5,-2.5) -- (-2.5,2.55) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (2.55,2.55) circle [radius=1pt];
\draw (-2.5,2.55) -- (2.55,2.55) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (2.55,2.55) -- (2.55,-2.55) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (2.55,2.55) -- (2.55,-2.55) [line width=1pt] [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.3 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (2.55,-2.55) -- (-2.55,-2.55) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (2.55,-2.55) -- (-2.55,-2.55) [line width=1pt] [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.2 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (-2.55,-2.55) circle [radius=1pt];			
\draw (-2.55,-2.55) -- (-2.55,2.55) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (-2.55,-2.55) -- (-2.55,2.55) [line width=1pt] [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.3 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (-2.55,2.55) -- (2.55,2.55) [line width=1pt] [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.3 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (0.7,-3.2) node[anchor=north east] {$\alpha>0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Szuperkritikus flip-bifurkáció (Jelölés: $x_{n+1}=f_\alpha\left(x_n\right),\ n\geq0$)}
\label{fig:fixpont-pokhalo}
\end{figure}

\Aref{fig:fixpont-pokhalo}.\ ábra alapján $\alpha<0$ esetén $x=0$ vonzza az $x_0,x_1,x_2,...$ pályát, ezért az $f_\alpha$ leképezés $x=0$ fixpontja aszimptotikusan stabil. Ha $\alpha=0$, akkor $f_\alpha$ érinti az $y=-x$ egyenest, és a pókháló-módszer segítségével megmutatható, hogy $x=0$ aszimptotikusan stabil. Azt is látjuk, hogy a kicsi, pozitív $\alpha$ esetén kialakuló 2-periodikus megoldás orbitálisan aszimptotikusan stabil, és $x=0$ elveszíti a stabilitását. Ezt a jelenséget \emph{szuperkritikus flip-birufkáció}nak nevezzük.

\begin{figure}[h]
\centering
\tikzsetnextfilename{szubkritflip}
\begin{tikzpicture}[x=1cm]
\begin{scope}
\draw [->] (-2.1,0) -- (2.1,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw [->] (0,-2.1) -- (0,2.1) node[anchor=west] {$y$};
\draw [dashed] (-2.0,-2.0) -- (2.0,2.0);
\draw [dashed] (-2.0,2.0) -- (2.0,-2.0);
\draw [scale=10,domain=-0.21:0.21,smooth,variable=\x, line width=0.25mm] plot ({\x},{-(1-0.5)*\x-\x*\x*\x}) node[anchor=west]{\scriptsize{$g_\alpha$}};
\draw [fill] (-1.5,0.78) circle [radius=1pt];
\draw [fill] (1.5,-0.78) circle [radius=1pt];
\draw (-1.5,0.78) -- (1.5,0.78) [line width=0.4pt] [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (1.5,0.78) -- (1.5,-0.78) [line width=0.4pt] [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (1.5,-0.78) -- (-1.5,-0.78) [line width=0.4pt] [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (-1.5,-0.78) -- (-1.5,0.78) [line width=0.4pt] [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (1.2,0) circle [radius=1pt];
\draw [fill] (1.2,-0.62) circle [radius=1pt];
\draw [fill] (-0.62,-0.62) circle [radius=1pt];
\draw (1.2,0) -- (1.2,-0.62) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (1.2,-0.62) -- (-0.62,-0.62) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (-0.62,0.31) circle [radius=1pt];
\draw (-0.62,-0.62) -- (-0.62,0.31) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (0.31,0.31) circle [radius=1pt];
\draw (-0.62,0.31) -- (0.31,0.31) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (0.31,-0.15) circle [radius=1pt];
\draw (0.31,0.31) -- (0.31,-0.15) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.6 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (-0.15,-0.15) circle [radius=1pt];
\draw (0.31,-0.15) -- (-0.15,-0.15) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (1.7,0) circle [radius=1pt];
\draw [fill] (1.7,-0.9) circle [radius=1pt];
\draw (1.7,0) -- (1.7,-0.9) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (-0.9,-0.9) circle [radius=1pt];
\draw (1.7,-0.9) -- (-0.9,-0.9) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (-0.9,0.46) circle [radius=1pt];
\draw (-0.9,-0.9) -- (-0.9,0.46) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (0.46,0.46) circle [radius=1pt];
\draw (-0.9,0.46) -- (0.46,0.46) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.95 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (1,-2.1) node[anchor=north east] {$\alpha<0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[x=1cm]
\begin{scope}
\draw [->] (-2.1,0) -- (2.1,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw [->] (0,-2.1) -- (0,2.1) node[anchor=west] {$y$};
\draw [dashed] (-2.0,-2.0) -- (2.0,2.0);
\draw [dashed] (-2.0,2.0) -- (2.0,-2.0);
\draw [scale=10,domain=-0.21:0.21,smooth,variable=\x, line width=0.25mm] plot ({\x},{-(1-0)*\x-\x*\x*\x}) node[anchor=west]{\scriptsize{$g_\alpha$}};
\draw [fill] (1.15,0) circle [radius=1pt];
\draw [fill] (1.15,-1.16) circle [radius=1pt];
\draw [fill] (-1.16,-1.16) circle [radius=1pt];
\draw [fill] (-1.16,1.18) circle [radius=1pt];
\draw [fill] (1.18,1.18) circle [radius=1pt];
\draw (1.15,0) -- (1.15,-1.16) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (1.15,-1.16) -- (-1.16,-1.16) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (-1.16,-1.16) -- (-1.16,1.18) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (-1.16,1.18) -- (1.18,1.18) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw [fill] (1.18,-1.19) circle [radius=1pt];
\draw (1.18,1.18) -- (1.18,-1.19);
\draw [fill] (-1.19,-1.19) circle [radius=1pt];
\draw (1.18,-1.19) -- (-1.19,-1.19);
\draw [fill] (-1.19,1.21) circle [radius=1pt];
\draw (-1.19,-1.19) -- (-1.19,1.21);
\draw [fill] (1.21,1.21) circle [radius=1pt];
\draw (-1.19,1.21) -- (1.21,1.21);
\draw [fill] (1.21,-1.23) circle [radius=1pt];
\draw (1.21,1.21) -- (1.21,-1.23);
\draw [fill] (-1.23,-1.23) circle [radius=1pt];
\draw (1.21,-1.23) -- (-1.23,-1.23);
\draw [fill] (-1.23,1.26) circle [radius=1pt];
\draw (-1.23,-1.23) -- (-1.23,1.26);
\draw [fill] (1.26,1.26) circle [radius=1pt];
\draw (-1.23,1.26) -- (1.26,1.26);
\draw [fill] (1.26,-1.29) circle [radius=1pt];
\draw (1.26,1.26) -- (1.26,-1.29);
\draw [fill] (-1.29,-1.29) circle [radius=1pt];
\draw (1.26,-1.29) -- (-1.29,-1.29);
\draw [fill] (-1.29,1.32) circle [radius=1pt];
\draw (-1.29,-1.29) -- (-1.29,1.32);
\draw [fill] (1.32,1.32) circle [radius=1pt];
\draw (-1.29,1.32) -- (1.32,1.32);
\draw [fill] (1.32,-1.35) circle [radius=1pt];
\draw (1.32,1.32) -- (1.32,-1.35);
\draw [fill] (-1.35,-1.35) circle [radius=1pt];
\draw (1.32,-1.35) -- (-1.35,-1.35);
\draw [fill] (-1.35,1.38) circle [radius=1pt];
\draw (-1.35,-1.35) -- (-1.35,1.38);
\draw [fill] (1.38,1.38) circle [radius=1pt];
\draw (-1.35,1.38) -- (1.38,1.38);
\draw [fill] (1.38,-1.42) circle [radius=1pt];
\draw (1.38,1.38) -- (1.38,-1.42);
\draw [fill] (-1.42,-1.42) circle [radius=1pt];
\draw (1.38,-1.42) -- (-1.42,-1.42);
\draw [fill] (-1.42,1.45) circle [radius=1pt];
\draw (-1.42,-1.42) -- (-1.42,1.45);
\draw [fill] (1.45,1.45) circle [radius=1pt];
\draw (-1.42,1.45) -- (1.45,1.45);
\draw [fill] (1.45,-1.48) circle [radius=1pt];
\draw (1.45,1.45) -- (1.45,-1.48);
\draw (1,-2.1) node[anchor=north east] {$\alpha=0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[x=1cm]
\begin{scope}
\draw [->] (-2.1,0) -- (2.1,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw [->] (0,-2.1) -- (0,2.1) node[anchor=west] {$y$};
\draw [dashed] (-2.0,-2.0) -- (2.0,2.0);
\draw [dashed] (-2.0,2.0) -- (2.0,-2.0);
\draw [scale=10,domain=-0.15:0.15,smooth,variable=\x, line width=0.25mm] plot ({\x},{-(1+0.4)*\x-\x*\x*\x}) node[anchor=west]{\scriptsize{$g_\alpha$}};
\draw [fill] (0.7,0) circle [radius=1pt];
\draw [fill] (0.7,-0.98) circle [radius=1pt];
\draw [fill] (-0.98,-0.98) circle [radius=1pt];
\draw [fill] (-0.98,1.38) circle [radius=1pt];
\draw [fill] (1.38,1.38) circle [radius=1pt];
\draw [fill] (1.38,-1.96) circle [radius=1pt];
\draw (0.7,0) -- (0.7,-0.98) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.3 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (0.7,-0.98) -- (-0.98,-0.98) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (-0.98,-0.98) -- (-0.98,1.38) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (-0.98,1.38) -- (1.38,1.38) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (1.38,1.38) -- (1.38,-1.96) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.7 with {\arrow[black,line width=.5pt]{>};}
      }}];
\draw (1,-2.1) node[anchor=north east] {$\alpha>0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Szubkritikus flip-bifurkáció}
\label{fig:szubkritflip}
\end{figure}
Hasonlóan vizsgálható a
\begin{equation*}
g\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\ni\left(x,\alpha\right)\mapsto-\left(1+\alpha\right)x-x^3\in\mathbb{R}
\label{eq:biflekep_2}
\end{equation*}
leképezés is az origó közelében. Megmutatható, hogy kizárólag $\alpha<0$ esetén létezik 2-periodikus pálya, és ebben az esetben $g_\alpha\left(\pm\sqrt{-\alpha}\right)=\mp\sqrt{-\alpha}$. \Aref{fig:szubkritflip}.\ ábrán azt látjuk, hogy ha $\alpha<0$, akkor az $x=0$ fixpont stabil, a 2-periodikus pálya pedig instabil. Ha $\alpha\geq0$, akkor a pókháló-módszer alapján az $x=0$ fixpont instabil. Ezt a jelenséget \emph{szubkritikus flip-bifurkáció}nak nevezzük.

Az itt bemutatott példáktól eltérő leképezésekre az alábbi tétel alkalmazható, melynek bizonyítása megtalálható például a \cite{kuznetsov} könyvben.
\begin{tetel}
Tegyük fel, hogy a háromszor folytonosan differenciálható $f\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ leképezésre teljesülnek az alábbi feltételek:
\begin{enumerate}
\item $f\left(0,0\right)=0$;
\item $f'_x\left(0,0\right)=-1$;
\item $\frac{1}{2}\left[f''_{xx}\left(0,0\right)\right]^2+\frac{1}{3}f'''_{xxx}\left(0,0\right)\neq0$;
\item $f''_{x\alpha}\left(0,0\right)\neq0$.
\end{enumerate}
Ekkor $f$ perióduskettőző bifurkáción megy át, ahogy $\alpha$ áthalad a nullán.
\end{tetel}
\section{Flip-bifurkáció differenciálegyenlet-rendszerek esetén}
\label{sec:p_lekepezes}
Ebben a szakaszban megmutatjuk, mit jelent a perióduskettőző (flip-) bifurkáció differenciálegyenlet-rendszerek esetében. Az egyszerűség kedvéért csak 3-dimenziós rendszereket tekintünk.

Tegyük fel, hogy a vizsgált háromdimenziós differenciálegyenlet-rendszernek létezik $L_0$ periodikus pályája. 
\begin{figure}[h]
\centering
\tikzsetnextfilename{flip_diffegy}
\begin{tikzpicture}[x=1cm]
\draw[rotate=-45] (2,2) ellipse (30pt and 60pt) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.1 with {\arrow[black,line width=.5pt]{<};}
      }}];  
\draw [rotate=-36] (3.28,1.9) arc [start angle=0, end angle=350, x radius=28pt, y radius=56pt] [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.8 with {\arrow[black,line width=.5pt]{<};}
      }}];
\draw [fill] (3.56,-0.65) circle [radius=1pt];
\draw (2.45,-0.65) node[anchor=west] {\tiny{$\left(x,y,z\right)$}};
\draw [fill] (3.77,-0.4) circle [radius=1pt];
\draw (2.44,-0.35) node[anchor=west] {\tiny{$\mathcal{P}\left(x,y,z\right)$}};
\draw (0.55,-1) node[anchor=west] {\small{$L_0$}};
\draw (3.2,0.8) -- (3.2,-0.8);
\draw (3.2,-0.8) -- (4.8,-0.8);
\draw (4.8,-0.8) -- (4.8,0.8);
\draw (4.8,0.8) -- (3.2,0.8);
\draw (4.8,-0.9) node[anchor=west] {\small{$U$}};
\draw [fill] (4.03,-0.2) circle [radius=1pt];
\draw (3.98,-0.18) node[anchor=west] {\tiny{$\left(x^*,y^*,z^*\right)$}};
\draw[rotate=-45] (6,6) ellipse (30pt and 60pt) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.1 with {\arrow[black,line width=.5pt]{<};}
      }}];
\draw (9,1.9) node[anchor=west] {\small{$L_1$}};
\draw[rotate=-45] (5.9,5.7) ellipse (25pt and 50pt) [postaction={decorate, decoration={markings,
        mark=at position 0.3 with {\arrow[black,line width=.5pt]{<};}
      }}];
\draw (8.6,0.8) -- (8.6,-0.8);
\draw (8.6,-0.8) -- (10.2,-0.8);
\draw (10.2,-0.8) -- (10.2,0.8);
\draw (10.2,0.8) -- (8.6,0.8);
\draw (10.2,-0.9) node[anchor=west] {\small{$U$}};
\draw [fill] (9.34,-0.1) circle [radius=1pt];
\draw [fill] (9.73,-0.14) circle [radius=1pt];
\draw (9.7,-0.14) node[anchor=west] {\tiny{$P_1$}};
\draw (8.95,0.13) node[anchor=west] {\tiny{$P_2$}};
\end{tikzpicture}
\caption{Flip-bifurkáció differenciálegyenlet-rendszerek esetén}
\label{fig:flip_diffegy}
\end{figure}
Állítsunk $L_0$-ra transzverzálisan egy síkot valamely $\left(x^*,y^*,z^*\right)$ pontján keresztül, azaz úgy, hogy az $L_0$ pálya $\left(x^*,y^*,z^*\right)$-ban vett érintője ne essen bele a síkba. Tekintsük $\left(x^*,y^*,z^*\right)$ egy kicsi $U$ környezetét ebben a síkban. A differenciálegyenlet-rendszerek megoldásai folytonosan függenek a kezdeti feltételektől, ezért elég kicsi $U$ környezet esetén a tetszőleges $\left(x,y,z\right)\in U$ kezdeti pontból induló megoldás újra metszeni fogja a síkot.

Definiáljuk a $\mathcal{P}\colon U\mapsto\mathbb{R}^3$ leképezést úgy, hogy tetszőleges $\left(x,y,z\right)\in U$ esetén $\mathcal{P}\left(x,y,z\right)$ legyen a sík azon pontja, ahol az $\left(x,y,z\right)$ kezdeti pontból induló megoldás újra metszi a síkot. A $\mathcal{P}$ leképezés fixpontjai megfeleltethetők a differenciálegyenlet-rendszer periodikus pályáinak. Világos, hogy az $\left(x^*,y^*,z^*\right)$ pont $\mathcal{P}$ fixpontja.

Ha bizonyos paraméterek esetén $\mathcal{P}$ perióduskettőző bifurkáción megy át, azaz $\mathcal{P}$-nek lesz egy $P_1,P_2,P_1,P_2,...$ periodikus pályája, akkor az eredeti differenciálegyenlet-rendszer $L_0$ periodikus pályája közelében megjelenik egy új, $L_1$ periodikus pálya úgy, hogy ezen pálya minimális periódusa megközelítőleg kétszerese az eredetinek. Differenciálegyenlet-rendszerek esetén ezt a jelenséget nevezzük perióduskettőző bifurkációnak. A jelenséget \aref{fig:flip_diffegy}.\ ábra szemlélteti.
\section{A jelenség megfigyelése a Chua-rendszerben}
Az alábbiakban numerikus vizsgálatok segítségével mutatunk példát perióduskettőző bifurkációkra a Chua-rendszerben. Az ehhez írt $\texttt{Matlab}$-scriptet a Függelék tartalmazza. A \cite{alapchua} dolgozat alapján, ha $m_0=-8/7$, $m_1=-5/7$ és $\beta=16$ rögzített, és $\alpha$ $8,855$ és $9,173$ között mozog, akkor a Chua-rendszer perióduskettőző bifurkációk sorozatán megy keresztül.

Először vizsgáljuk a rendszert $8,8557$-közeli $\alpha$ paraméterekre. Tekintsük egy periodikus pálya $L_0$ közelítését $\alpha=8,855$ esetén, és legyen $\left(x_0,y_0,z_0\right)\in L_0$. Állítsunk $\left(x_0,y_0,z_0\right)$-ra egy $S$ síkot úgy, hogy az $L_0$-ra nézve transzverzális legyen. Ezt megtehetjük például úgy, hogy $S$ normálvektorát $\left(\tilde{x}-x_0,\tilde{y}-y_0,\tilde{z}-z_0\right)$-nak választjuk, ahol $\left(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z}\right)\in L_0$ egy tetszőleges pont $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ kis környezetében.
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
			\begin{tikzpicture}[font=\small]
      \begin{axis}[
					/pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.84\linewidth,
					height=0.55\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
					y label style={rotate=-90},
          xlabel=$\alpha-\alpha_2$,
          ylabel=$x$,
					scaled x ticks=true,
        ]
				\addplot[line width=0.8pt,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./pdoub/bifdiag_also.csv};
				\addplot[line width=0.8pt,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./pdoub/bifdiag_felso.csv};
      \end{axis}
			\end{tikzpicture}
    \caption{Bifurkációs diagram $\alpha_2\approx8,8557$ környezetében}
		\label{fig:pdoub_bifdiagram}
  \end{center}
\end{figure}

Az $\alpha$ paraméter növelése esetén minden egyes $\alpha$ értékre egy stabil periodikus pályát figyelhetünk meg. \Aref{fig:pdoub_bifdiagram}.\ ábra azt szemlélteti, hogy mi az $x$-koordinátája ezen periodikus pályák és az $S$ sík $\left(x_0,y_0,z_0\right)$-hoz közeli metszéspontjainak. Ez a szimuláció azt támasztja alá, hogy a rendszer perióduskettőző bifurkáción megy keresztül.

Ez azt jelenti, hogy létezik egy kritikus $\alpha_2\approx8,8557$ paraméter a következő tulajdonságokkal: Ha ${\alpha<\alpha_2}$, és $\alpha$ közel van $\alpha_2$-höz, akkor létezik egy orbitálisan stabil periodikus megoldás. Ha $\alpha>\alpha_2$ és $\alpha-\alpha_2$ kicsi, akkor azt láthatjuk, hogy ez a periodikus megoldás elveszíti stabilitását, és a közelében minden $\alpha$ esetén megfigyelhetünk egy olyan másik stabil periodikus pályát, melynek minimális periódusa megközelítőleg kétszerese az eredeti periodikus megoldásénak. Világos, hogy ezen periodikus pályáknak és az $S$ síknak $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ közelében két metszéspontja van.

\Aref{fig:pdoub_bifdiagram}.\ bifurkációs diagram numerikus előállítása során számos technikai nehézséggel szembesültünk. Az $S$ sík és az $\alpha>\alpha_2$ esetén közelített $L_\alpha$ periodikus megoldások metszéspontjainak numerikus meghatározása során szükség van egy jól megválasztott $\varepsilon>0$ küszöbértékre azon $\left(x_k,y_k,z_k\right)\in L_\alpha$, $k=1,2,...$ pontok megtalálásához, amelyek $\varepsilon$-nál nagyobb pontossággal kielégítik $S$ egyenletét, azaz kielégítik az
\begin{equation*}
\left|x_k\left(\tilde{x}-x_0\right)+y_k\left(\tilde{y}-y_0\right)+z_k\left(\tilde{z}-z_0\right)-d\right|<\varepsilon
\end{equation*}
egyenlőtlenséget, ahol $d=x_0\left(\tilde{x}-x_0\right)+y_0\left(\tilde{y}-y_0\right)+z\left(\tilde{z}-z_0\right)$. A gyakorlati tapasztalatok azt mutatják, hogy az $\varepsilon=2\cdot10^{-4}$ választás megfelelő. Ezt követően ki kell válogatni azokat a pontokat, melyek $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ közelében találhatók. Ehhez $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ és $\left(x_k,y_k,z_k\right)$ pontok euklideszi távolságát vizsgáljuk minden $k$-ra. 

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
					/pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.45\linewidth,
					height=0.45\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
					y label style={rotate=-90,anchor=west},
          xlabel=$t$,
          ylabel=$x$,
        ]
        \addplot[thin,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./pdoub/tx_1.csv};
      \end{axis}
			\draw (4.3,-1) node[anchor=north east] {$\alpha<\alpha_2\approx8,8557$};
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
					/pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.45\linewidth,
					height=0.45\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
					y label style={rotate=-90,anchor=west},
          xlabel=$t$,
          ylabel=$x$,
        ]
        \addplot[thin,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./pdoub/tx_2.csv}; 
      \end{axis}
			\draw (4.7,-1) node[anchor=north east] {$\alpha_2<\alpha<\alpha_4\approx9,1080$};
			\end{tikzpicture}
			\caption{$x$ időfüggvénye különböző $\alpha$-értékek esetén}
			\label{fig:flip1}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
			    /pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.45\linewidth,
					height=0.45\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
					zlabel=$z$,
					z label style={rotate=-90,anchor=west}
        ]
        \addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./pdoub/xyz_1.csv}; 
      \end{axis}
			\draw (4.3,-1) node[anchor=north east] {$\alpha<\alpha_2\approx8,8557$};
			\end{tikzpicture}
			    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
			    /pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.45\linewidth,
					height=0.45\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
					zlabel=$z$,
					z label style={rotate=-90,anchor=west}
        ]
        \addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./pdoub/xyz_2.csv}; 
      \end{axis}
			\draw (4.7,-1) node[anchor=north east] {$\alpha_2<\alpha<\alpha_4\approx9,1080$};
			\end{tikzpicture}
			\caption{A rendszer pályája különböző $\alpha$-értékek esetén}
		\label{fig:flip2}
  \end{center}
\end{figure}

Az $\left(x_0,y_0,z_0\right)$-közeli pontokat ezután elhelyezkedésük szerint két csoportra kell osztani. Az utolsó lépés egy-egy pont kiválasztása ezen két csoportból aszerint, hogy a csoporton belül melyik pont elégíti ki a legpontosabban $S$ egyenletét. \Aref{fig:pdoub_bifdiagram}.\ ábra ezen két pont $x$-koordinátáját szemlélteti $\alpha$ függvényében.

További szimulációs eredményeket láthatunk \aref{fig:flip1}., \ref{fig:flip2}., \ref{fig:flip3}.\ és \aref{fig:flip4}.\ ábrákon, amelyek azt támasztják alá, hogy a Chua-rendszerben perióduskettőző bifurkációk sorozata történik.

Az $\alpha$ paraméter értékét tovább növelve $\alpha_4\approx9,1080$ és $\alpha_8\approx9,1591$ kritikus értékek közé olyan orbitálisan stabil periodikus megoldásokat figyelhetünk meg, melyek minimális periódusa megközelítőleg kétszerese az $\alpha_2<\alpha<\alpha_4$ esetén vizsgált periodikus pályáknak, ezért négyszerese $L_0$ minimális periódusának.

Amennyiben az $\alpha$ paraméter értékét tovább növeljük, úgy azt tapasztaljuk, hogy bizonyos $\alpha_{2^{n}}$, $n=1,2,...$ kritikus paraméterek esetén $L_0$ közelében megfigyelhető periodikus megoldások rendre elveszítik stabilitásukat, és kis környezetükben további periodikus megoldások bifurkálódnak, melyek minimális periódusa $2^{n}$-szerint növekszik $L_0$ minimális periódusához képest.
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
					/pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.45\linewidth,
					height=0.45\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
					y label style={rotate=-90,anchor=west},
          xlabel=$t$,
          ylabel=$x$,
        ]
        \addplot[thin,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./pdoub/tx_3.csv};
      \end{axis}
			\draw (4.7,-1) node[anchor=north east] {$\alpha_4<\alpha<\alpha_8\approx9,1591$};
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
					/pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.45\linewidth,
					height=0.45\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
					y label style={rotate=-90,anchor=west},
          xlabel=$t$,
          ylabel=$x$,
        ]
        \addplot[thin,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,col sep=comma] {./pdoub/tx_4.csv}; 
      \end{axis}
			\draw (4.7,-1) node[anchor=north east] {$\alpha_8<\alpha<\alpha_{16}\approx9,1699$};
			\end{tikzpicture}
			\caption{$x$ időfüggvénye különböző $\alpha$-értékek esetén}
			\label{fig:flip3}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
			    /pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.45\linewidth,
					height=0.45\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
					zlabel=$z$,
					z label style={rotate=-90,anchor=west}
        ]
        \addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./pdoub/xyz_3.csv}; 
      \end{axis}
			\draw (4.7,-1) node[anchor=north east] {$\alpha_4<\alpha<\alpha_8\approx9,1591$};
			\end{tikzpicture}
			    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
			    /pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.45\linewidth,
					height=0.45\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
					zlabel=$z$,
					z label style={rotate=-90,anchor=west}
        ]
        \addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./pdoub/xyz_4.csv}; 
      \end{axis}
			\draw (4.7,-1) node[anchor=north east] {$\alpha_8<\alpha<\alpha_{16}\approx9,1699$};
			\end{tikzpicture}
			\caption{A rendszer pályája különböző $\alpha$-értékek esetén}
		\label{fig:flip4}
  \end{center}
\end{figure}
\chapter{Káosz}
Hétköznapi értelemben a "káosz" kifejezés egyfajta rendezetlen, szokatlan, megjósolhatatlan viselkedésre utal. A matematikában leképezések esetén találkozhatunk kaotikus viselkedéssel, melynek pontos definiálása a következő célunk.

Ebben a fejezetben ismertetjük a káosz definíciójához szükséges alapfogalmakat, majd a definíciót követően példát mutatunk káoszra a Chua-rendszerben.
\section{Alapfogalmak}
Tekintsük az $\mathcal{X}$ metrikus teret $d$ metrikával, legyen $f\colon\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X}$ folytonos leképezés, valamint vezessük be az $N_{\varepsilon}\left(x\right)=\left\{y\in\mathcal{X}\ |\ d\left(x,y\right)<\varepsilon\right\}$ jelölést. Utóbbit \emph{$x$ $\varepsilon$-sugarú környezeté}nek nevezzük. Az $\mathcal{X}$ metrikus tér $\mathcal{U}\subseteq\mathcal{X}$ részhalmaza \emph{nyílt}, ha bármely $x\in\mathcal{U}$ esetén létezik $\varepsilon>0$ úgy, hogy $N_{\varepsilon}\left(x\right)\subset\mathcal{U}$. Ha $\mathcal{X}$ metrikus tér, $x\in\mathcal{X}$ és $\varepsilon>0$, akkor $N_{\varepsilon}\left(x\right)$ nyílt.
\begin{defin}
A $\mathcal{D}\subseteq\mathcal{X}$ halmaz \emph{sűrű} $\mathcal{X}$-ben, ha bármely $x\in\mathcal{X}$ és $\varepsilon>0$ esetén létezik $y\in\mathcal{D}$ úgy, hogy $d\left(x,y\right)\leq\varepsilon$.
\end{defin}
Például az $\mathcal{X}=\mathbb{R}$ és $\mathcal{D}=\mathbb{Q}$ választás esetén $\mathcal{D}$ sűrű $\mathcal{X}$-ben, mert bármely két valós szám között között végtelen sok racionális szám található.
\begin{defin}
Az $f$ leképezés \emph{topologikusan tranzitív}, ha bármely nyílt, nemüres $\mathcal{U},\mathcal{V}\subseteq\mathcal{X}$ részhalmazok esetén létezik $n\in\mathbb{N}$ és $x\in\mathcal{U}$ úgy, hogy $f^{n}\left(x\right)\in\mathcal{V}$.
\end{defin}
\begin{allitas}
Ha létezik $x_0\in\mathcal{X}$ úgy, hogy az $f$ leképezés $x_0$-ból induló pályája sűrű $\mathcal{X}$-ben, akkor $f$ topologikusan tranzitív.
\end{allitas}
\begin{proof}
Legyen $f\colon\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X}$ leképezés, legyenek $\mathcal{U},\mathcal{V}\subseteq\mathcal{X}$ tetszőleges, nyílt, nemüres halmazok, és tegyük fel, hogy az $f$ leképezés $x_0$-ból induló pályája sűrű $\mathcal{X}$-ben. Ebből következik, hogy létezik $k,m\in\mathbb{N}$ úgy, hogy $f^{k}\left(x_0\right)\in\mathcal{U}$ és $f^{m}\left(x_0\right)\in\mathcal{V}$. Ha $m\geq k$, akkor készen vagyunk az $n=m-k$ választással.

Amint már említettük, a $\mathcal{V}$ halmaz $x_0$ legalább egy iteráltját tartalmazza. Tegyük fel $\mathcal{V}$-ről, hogy $x_0$ véges sok iteráltját tartalmazza. Legyen $v\in\mathcal{V}$ úgy, hogy $v$ nem iteráltja $x_0$-nak. Tudjuk, hogy
\begin{center}
$\varepsilon=\min\left\{\left|v-f^{n}\left(x_0\right)\right|\right\}>0$,
\end{center}
ezért $v$ $\varepsilon/2$-sugarú környezete nem tartalmaz olyan elemet, amely $x_0$ iteráltja. Ekkor az $x_0$-ból induló pálya nem sűrű $\mathcal{X}$-ben, ami ellentmondás.

Ebből következik, hogy a $\mathcal{V}$ halmaz $x_0$ végtelen sok iteráltját tartalmazza, azaz létezik $m>k$ úgy, hogy $f^{m}\left(x_0\right)\in\mathcal{V}$. Ha az $n=m-k$ választással élünk, akkor a bizonyítás kész.
\end{proof}

Egy kaotikus leképezéstől elvárt, hogy érzékenyen függjön a kezdeti adatoktól. Ezt a tulajdonságot pillangóhatásnak is szokás nevezni. A kezdeti adatoktól való érzékeny függés pontos definíciója a következő.
\begin{defin}
Az $f\colon\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X}$ folytonos leképezés \emph{érzékenyen függ a kezdeti adatoktól}, ha létezik $\delta>0$ úgy, hogy bármely $x\in\mathcal{X}$-hez és bármely $\varepsilon>0$-hoz létezik $y\in\mathcal{X}$ és $n\in\mathbb{N}$ úgy, hogy $d\left(x,y\right)<\varepsilon$ és $d\left(f^n\left(x\right),f^n\left(y\right)\right)>\delta$.
\end{defin}
\section{A káosz definíciója}
A káosznak számos definíciója létezik\cite{kaosz1}. Az alábbi definíció \emph{R. Devaney} amerikai matematikus nevéhez fűződik, aki 1989-ben publikálta azt először\cite{kaosz2}.
\begin{defin}
\textit{(Devaney)} Legyen $\mathcal{X}$ metrikus tér. Az $f\colon\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X}$ leképezés \emph{kaotikus}, ha
\begin{enumerate}[(a)]
\item periodikus pontjainak halmaza sűrű $\mathcal{X}$-ben,
\item topologikusan tranzitív, és
\item érzékenyen függ a kezdeti adatoktól.
\end{enumerate}
\end{defin}

Az alábbi tétel szerint, ha $\mathcal{X}$ végtelen számosságú, $f$ kaotikus viselkedéséhez elegendő csak az (a) és (b) feltételeket megkövetelni.
\begin{tetel}
Legyen $f\colon\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X}$ topologikusan tranzitív, és legyen $f$ periodikus pontjainak halmaza sűrű $\mathcal{X}$-ben. Ekkor, ha $\mathcal{X}$ végtelen számosságú, $f$ érzékenyen függ a kezdeti feltételektől.
\end{tetel}
\begin{proof}
Tegyük fel, hogy $f\colon\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X}$ topologikusan tranzitív, és periodikus pontjainak halmaza sűrű $\mathcal{X}$-ben. Jelölje $\text{Per}\left(f\right)$ ezt a halmazt. 

Először megmutatjuk, hogy megadható $\delta_0>0$ úgy, hogy minden $x\in\mathcal{X}$-hez létezik $q\in\text{Per}\left(f\right)$ a következő tulajdonsággal: bármely $n\in\mathbb{N}$ esetén ${d\left(x,f^n\left(q\right)\right)\geq\delta_0}$. Ez azt jelenti, hogy bármely $x\in\mathcal{X}$ legalább $\delta_0$ távolságra van $f$ egy periodikus pályájától.

Legyen $p,q\in\text{Per}\left(f\right)$ különböző pályájú, és legyen
\begin{center}
$\delta_0=\frac{1}{2}\min\left\{d\left(f^n\left(p\right),f^m\left(q\right)\right)\ |\ n,m\in\mathbb{N}\right\}.$
\end{center}
Tudjuk, hogy $p$ és $q$ pályái véges sok pontot tartalmaznak, mert periodikusak, ezért $\delta_0>0$. A fenti definíció szerint $p$ pályájának minden pontja legalább $2\delta_0$ távolságra van $q$ pályájának összes pontjából. A háromszög-egyenlőtlenség értelmében
\begin{center}
$2\delta_0\leq d\left(f^n\left(p\right),f^m\left(q\right)\right)\leq d\left(f^n\left(p\right),x\right)+d\left(x,f^m\left(q\right)\right),$
\end{center}
tetszőleges $n,m\in\mathbb{N}$ esetén. Ez alapján két eset lehetséges:
\begin{enumerate}
\item Ha valamely $n$-re $\left(f^n\left(p\right),x\right)\leq\delta_0$, akkor bármely $m$-re $d\left(x,f^m\left(q\right)\right)\geq\delta_0$, vagy
\item ha valamely $m$-re $d\left(x,f^m\left(q\right)\right)\leq\delta_0$, akkor bármely $n$-re $\left(f^n\left(p\right),x\right)\geq\delta_0$,
\end{enumerate}
ami azt jelenti, hogy bármely $x\in\mathcal{X}$ legalább $\delta_0$ távolságra van vagy $p$ vagy $q$ periodikus pályájától.

Legyen most $\delta=\delta_0/4$, és $x\in\mathcal{X}$ tetszőleges. Az alábbiakban megmutatjuk, hogy ez a $\delta$ megfelelő a kezdeti adatoktól való érzékeny függés igazolásához, azaz minden $x\in\mathcal{X}$-hez és minden $\varepsilon>0$-hoz létezik $y\in\mathcal{X}$ úgy, hogy $d\left(x,y\right)<\varepsilon$ és $d\left(f^n\left(x\right),f^n\left(y\right)\right)>\delta$ valamely $n\in\mathbb{N}$ esetén. Tekintettel arra, hogy ez a feltétel csökkenő $\varepsilon$ esetén egyre szigorúbb, az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $\varepsilon<\delta$.

Mivel $f$ periodikus pontjainak halmaza sűrű $\mathcal{X}$-ben, ezért létezik olyan ${p\in\text{Per}\left(f\right)}$ egy $k\in\mathbb{N}$ periódussal, hogy $d\left(x,p\right)<\varepsilon$. Továbbá a bizonyítás első része alapján tudjuk, hogy létezik $q\in\text{Per}\left(f\right)$ úgy, hogy $d\left(\text{$q$ pályája},x\right)\geq\delta_0=4\delta$. Végül definiáljunk egy $\mathcal{V}$ halmazt a következőképpen:
\begin{center}
$\mathcal{V}=\left\{x\ |\ d\left(f^i\left(x\right),f^i\left(q\right)\right)<\delta,\ \forall\ 0\leq i\leq k\right\}$.
\end{center}
A definícióból következik, hogy $q\in\mathcal{V}$, valamint megmutatható\cite{kaosz1}, hogy $\mathcal{V}$ nyílt. 

Mivel $\mathcal{V}$ és $N_{\varepsilon}\left(x\right)$ nyílt halmazok, továbbá feltettük, hogy $f$ topologikusan tranzitív, ezért létezik $y\in N_{\varepsilon}\left(x\right)$ és $m\in\mathbb{N}$ úgy, hogy $f^m\left(y\right)\in\mathcal{V}$. Legyen $j\in\mathbb{N}$ olyan, hogy 
\begin{center}
$\frac{m}{k}<j\leq\frac{m}{k}+1\Longleftrightarrow0<kj-m\leq k$.
\end{center}

A bizonyítás befejezése előtt tekintsük át az eddigieket. Az $x\in\mathcal{X}$ pont tetszőleges, valamint tudjuk, hogy $0<\varepsilon<\delta$. Az $N_{\varepsilon}\left(x\right)$ halmazon belül található az alábbi három pont: az $x$, a $p$ periodikus pont $k$ periódussal, valamint az $y$. 
\begin{figure}[h]
\centering
\tikzsetnextfilename{kaosz_bizonyitas}
\begin{tikzpicture}[x=1cm]
\draw (2,2) ellipse (50pt and 50pt);
\draw [fill] (2,2) circle [radius=1pt];
\draw (2.15,1.87) node {\small{$x$}};
\draw (2,2) -- (3,3.45);
\draw (2.34,2.85) node {\small{$\varepsilon$}};
\draw (4.2,2.85) node {\small{$N_{\varepsilon}\left(x\right)$}};
\draw [fill] (1.15,2.3) circle [radius=1pt];
\draw (1.05,2.12) node {\small{$y$}};
\draw [fill] (1.5,1) circle [radius=1pt];
\draw (1.5,0.77) node {\small{$p$}};
\draw[rotate=-45] (5.9,8.6) ellipse (30pt and 60pt);
\draw (9.55,3) node {\small{$\mathcal{V}$}};
\draw [fill] (10.5,2.2) circle [radius=1pt];
\draw (11.1,2.35) node {\small{$f^m\left(y\right)$}};
\draw [fill] (9,0.8) circle [radius=1pt];
\draw (9.15,0.7) node {\small{$q$}};
\end{tikzpicture}
\caption{A bizonyításban használt halmazok és elemek elhelyezkedése}
\label{fig:kaosz_biz}
\end{figure}

A $\mathcal{V}$ halmazról tudjuk, hogy $\mathcal{V}\cap N_{\varepsilon}\left(x\right)=\emptyset$. Ez következik $\mathcal{V}$ definíciójából, és abból, hogy $d\left(x,f^n\left(q\right)\right)\geq\delta_0=4\delta$ minden $n$-re, valamint abból, hogy $\varepsilon<\delta$. Tudjuk azt is, hogy $q\in\mathcal{V}$, valamint ha $z\in\mathcal{V}$ és $i\leq k$, akkor $d\left(f^i\left(z\right),f^i\left(q\right)\right)<\delta$, és $f^m\left(y\right)\in\mathcal{V}$. Ezt mutatja \aref{fig:kaosz_biz}.\ ábra.

Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a $d\left(f^{kj}\left(p\right),f^{kj}\left(x\right)\right)>\delta$ és $d\left(f^{kj}\left(y\right),f^{kj}\left(x\right)\right)>\delta$ egyenlőtlenségek közül valamelyik mindig fennáll. Ekkor, mivel $p$ és $y$ pontok $x$-től mért távolsága kisebb, mint $\varepsilon$, teljesülnek a kezdeti adatoktól való érzékeny függés definíciójában előírt egyenlőtlenségek.

Mivel $y$ olyan, hogy $f^m\left(y\right)\in\mathcal{V}$, ezért $\mathcal{V}$ definíciója alapján
\begin{center}
$d(\underbrace{f^{kj}\left(y\right)}_{f^{kj-m}\left(f^m\left(y\right)\right)},f^{kj-m}\left(q\right))<\delta\text{, hiszen }kj-m\leq k.$
\end{center}
A háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásával pedig azt kapjuk, hogy
\begin{center}
$d\left(x,f^{kj-m}\left(q\right)\right)\leq d\left(x,p\right)+d\left(p,f^{kj}\left(y\right)\right)+d\left(f^{kj}\left(y\right),f^{kj-m}\left(q\right)\right).$
\end{center}
Egyrészt feltettük, hogy $d\left(x,p\right)<\varepsilon<\delta$. Másrészt az előbb megmutattuk, hogy $d\left(f^{kj}\left(y\right),f^{kj-m}\left(q\right)\right)<\delta$, ezért
\begin{center}
$d\left(x,f^{kj-m}\left(q\right)\right)<d\left(p,f^{kj}\left(y\right)\right)+2\delta$.
\end{center}
Mivel tudjuk, hogy $d\left(x,f^{kj-m}\left(q\right)\right)>\delta_0=4\delta$, ezért az előző egyenlőtlenségből az következik, hogy $d\left(p,f^{kj}\left(y\right)\right)>2\delta$. Tudjuk, hogy $p$-nek $k$ periódusa, ezért $f^{kj}\left(p\right)=p$, így $d\left(f^{kj}\left(p\right),f^{kj}\left(y\right)\right)>2\delta$. Végül vegyük észre, hogy
\begin{center}
$2\delta<d\left(f^{kj}\left(p\right),f^{kj}\left(y\right)\right)\leq d\left(f^{kj}\left(p\right),f^{kj}\left(x\right)\right)+d\left(f^{kj}\left(x\right),f^{kj}\left(y\right)\right)$,
\end{center}
amiből következik, hogy $d\left(f^{kj}\left(p\right),f^{kj}\left(x\right)\right)>\delta$ vagy ${d\left(f^{kj}\left(x\right),f^{kj}\left(y\right)\right)>\delta}$.
\end{proof}
\section{Káosz a Chua-rendszerben}
Differenciálegyenlet-rendszerek esetén akkor beszélünk káoszról, ha valamely (a dolgozat \ref{sec:p_lekepezes}.\ szakaszában definiált) $\mathcal{P}$ visszatérési leképezés kaotikus.

\Aref{fig:kaosz_szim}.\ ábrán azt láthatjuk, hogy a Chua-rendszer az ${\alpha=15}$, ${\beta=25}$, ${m_0=-1,6}$ és ${m_1=-0,8}$ paraméterek, valamint a $\left(-0.4,0,0\right)^{\text{T}}$ kezdeti érték mellett kaotikusan viselkedik: a numerikus szimulációk alapján úgy tűnik, hogy ezen megoldás pályája sűrű a fázistér egy részhalmazában.

A rendszer kaotikus viselkedést mutat \aref{fig:eredmenyek1}., \ref{fig:eredmenyek2}.\ és \ref{fig:eredmenyek3}.\ ábrákon látható szimulációs eredmények esetén is.
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
			    /pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.32\linewidth,
					height=0.34\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
					zlabel=$z$,
					z label style={rotate=-90,anchor=west}
        ]
        \addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./kaosz/xyz1.csv}; 
      \end{axis}
			\draw (2.6,-1) node[anchor=north east] {$t\in\left[0,10\right]$};
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
			    /pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.32\linewidth,
					height=0.34\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
					zlabel=$z$,
					z label style={rotate=-90,anchor=west}
        ]
        \addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./kaosz/xyz2.csv}; 
      \end{axis}
			\draw (2.6,-1) node[anchor=north east] {$t\in\left[0,30\right]$};
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
			    /pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.32\linewidth,
					height=0.34\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
					zlabel=$z$,
					z label style={rotate=-90,anchor=west}
        ]
        \addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./kaosz/xyz3.csv}; 
      \end{axis}
			\draw (2.6,-1) node[anchor=north east] {$t\in\left[0,40\right]$};
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
			    /pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.32\linewidth,
					height=0.34\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
					zlabel=$z$,
					z label style={rotate=-90,anchor=west}
        ]
        \addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./kaosz/xyz4.csv}; 
      \end{axis}
			\draw (2.6,-1) node[anchor=north east] {$t\in\left[0,50\right]$};
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
			    /pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.32\linewidth,
					height=0.34\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
					zlabel=$z$,
					z label style={rotate=-90,anchor=west}
        ]
        \addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./kaosz/xyz5.csv}; 
      \end{axis}
			\draw (2.6,-1) node[anchor=north east] {$t\in\left[0,70\right]$};
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
			    /pgf/number format/.cd,
          use comma,
          width=0.32\linewidth,
					height=0.34\linewidth,
          grid=major,
          grid style={dashed,gray!30},
          xlabel=$x$,
          ylabel=$y$,
					zlabel=$z$,
					z label style={rotate=-90,anchor=west}
        ]
        \addplot3[thick,mark=none,black] 
        table[x=column1,y=column2,z=column3,col sep=comma] {./kaosz/xyz6.csv}; 
      \end{axis}
			\draw (2.6,-1) node[anchor=north east] {$t\in\left[0,80\right]$};
			\end{tikzpicture}
    \caption{A rendszer pályája}
		\label{fig:kaosz_szim}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{thebibliography}{1}
\thispagestyle{empty}
\bibitem{villamossagtan} Simonyi K.\ \emph{Elméleti villamosságtan}. Tankönyvkiadó Vállalat, Budapest, 1976.
\bibitem{miklosjelek} Kuczmann M.\ \emph{Jelek és Rendszerek}. Universitas-Győr, Győr, 2005.
\bibitem{alapchua} Leon O.\ Chua, Luong T.\ Huynh.\ \emph{Bifurcation Analysis of Chua's Circuit}. Proceedings of the $35^{\text{th}}$ Midwest Symposium on Circuits and Systems, Washington DC, 1992.
\bibitem{bronstein} Bronstein I.\ N., Szemengyaljev K.\ A.\ \emph{Matematikai kéziköny}. Typo\TeX\ kiadó, Budapest, 2009.
\bibitem{terjeki} Terjéki J.\ \emph{Differenciálegyenletek}. Polygon jegyzet, Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet, Szeged, 1997.
\bibitem{matlab} https://www.mathworks.com/ \emph{(utolsó látogatás: 2020.\ január 20.)}
\bibitem{P-L} Simon L.\ P., Tóth J.\ \emph{Differenciálegyenletek}. Typo\TeX\ kiadó, Budapest, 2009.
\bibitem{bolzano} Laczkovich M., T.\ Sós V.\ \emph{Analízis I-II}. Typo\TeX\ kiadó, Budapest, 2013.
\bibitem{kuznetsov} Y.\ A.\ Kuznetsov.\ \emph{Elements of Applied Bifurcation Theory, Second Edition}. Springer, New York, 1998.
\bibitem{kaosz1} R.\ A.\ Holmgren.\ \emph{A First Course in Discrete Dynamical Systems}.  Springer-Verlag, New York, 1994.
\bibitem{kaosz2} R.\ Devaney.\ \emph{An Introduction to Chaotic Dynamical Systems}. Addison-Wesley, Boston, 1989.
\end{thebibliography}
\begin{appendices}
\setcounter{page}{1}
\chapter{Függelék}
	\section{A Chua-rendszer \texttt{Matlab}-kódja}
    \label{appendix:chuakod}
    \pagenumbering{Roman}
    \setcounter{page}{1}
\subsection*{\texttt{chua\_script.m}}
\scriptsize
\begin{verbatim}
%Chua-aramkor, ungert, 2019
clear; clc;

%Villamos input
C1  = 10*10^(-9); %10 nF
C2  = 156*10^(-9); % 156 nF
R = 1*10^3; G = 1/R; % 1 kOhm
L = 6*10^(-3); %6 mH
Ga = -1.5*G; Gb = -0.7*G;

%Parameterezes
alpha = C2/C1; beta = C2/(L*G^2);
m0 = Ga/G; m1 = Gb/G;

n = 2000; %Idolepesek
x = zeros(1,n); y = x; z = y;
t = linspace(0,50,n);
dt = t(2) - t(1);

KF = [-0.7 0 0]; %Kezdeti feltetel
x(1) = KF(1); y(1) = KF(2); z(1) = KF(3);

ujszakasz = true; t_1 = 0; t_2 = dt;
for i = 2:n
 %%   
    if (ujszakasz == true) && ((x(i-1) < -1) || (x(i-1) > 1))
        m = m1;
        %Sajatertekek
        SE = roots([1 (1+alpha+alpha*m) (beta+alpha*m) (alpha*beta*(1+m))]);
        if (x(i-1) < -1)
            d = (m0-m1) / (1+m1);
        elseif (x(i-1) > 1)
            d = (m1-m0) / (1+m1);
        end
    elseif (ujszakasz == true) 
        m = m0;
        d = 0;
        %Sajatertekek
        SE = roots([1 (1+alpha+alpha*m) (beta+alpha*m) (alpha*beta*(1+m))]);
    end
 %%   
    %Konstansok meghatarozasa elsokent es minden szakaszatlepeskor
    
    %Harom kulonbozo valos sajatertek
    if (ujszakasz == true) && (isreal(SE) == 1) && (SE(1) ~= SE(2)) && ...
            (SE(1) ~= SE(3)) && (SE(2) ~= SE(3))
        if i == 2
            k = inv([1 1 1;SE(1) SE(2) SE(3); SE(1)^2 SE(2)^2 SE(3)^2]) * ...
                [z(1) + d;-beta*y(1);-beta*(x(1)-y(1)+z(1))];
        else
            k = inv([1 1 1;SE(1) SE(2) SE(3); SE(1)^2 SE(2)^2 SE(3)^2]) * ...
                [z0 + d;-beta*y0;-beta*(x0-y0+z0)];
        end
    end
    
    %Valos sajatertekek, ketto azonos
    if (ujszakasz == true) && (isreal(SE) == 1) && ...
            (((SE(1) == SE(2)) && (SE(2) ~= SE(3))) || ((SE(1) == SE(3)) && (SE(3) ~= SE(2))) ...
            || ((SE(2) == SE(3)) && (SE(3) ~= SE(1))))
        
        if (SE(1) == SE(2)) && (SE(2) ~= SE(3))
            lambda12 = SE(1); lambda3 = SE(3);
        elseif (SE(1) == SE(3)) && (SE(3) ~= SE(2))
            lambda12 = SE(1); lambda3 = SE(2);
        elseif (SE(2) == SE(3)) && (SE(3) ~= SE(1))
            lambda12 = SE(2); lambda3 = SE(1);
        end
        
        if i == 2
            k = inv([1 0 1;lambda12 1 lambda3; lambda12^2 2*lambda12 lambda3]) * ...
                [z(1) + d;-beta*y(1);-beta*(x(1)-y(1)+z(1))];
        else
            k = inv([1 0 1;lambda12 1 lambda3; lambda12^2 2*lambda12 lambda3]) * ...
                [z0 + d;-beta*y0;-beta*(x0-y0+z0)];
        end
    end
    
    %Valos sajatertekek, mindharom azonos
    if (ujszakasz == true) && (isreal(SE) == 1) && (SE(1) == SE(2)) && ...
            (SE(1) == SE(3)) && (SE(2) == SE(3))
        lambda = SE(1);
        
        if i == 2
            k = inv([1 0 0; lambda 1 0; lambda^2 2*lambda 2]) * ...
                [z(1) + d;-beta*y(1);-beta*(x(1)-y(1)+z(1))];
        else
            k = inv([1 0 0; lambda 1 0; lambda^2 2*lambda 2]) * ...
                [z0 + d;-beta*y0;-beta*(x0-y0+z0)];
        end
    end
    
    %Konjugalt komplex sajatertekek vannak
    if (ujszakasz == true) && (isreal(SE) == 0)
        
        if isreal(SE(1)) == 0
            gamma = real(SE(1)); omega = abs(imag(SE(1)));
        elseif isreal(SE(2)) == 0
            gamma = real(SE(2)); omega = abs(imag(SE(2)));
        else
            gamma = real(SE(3)); omega = abs(imag(SE(3)));
        end
        if isreal(SE(1)) == 1
            lambda3 = SE(1);
        elseif isreal(SE(2)) == 1
            lambda3 = SE(2);
        else
            lambda3 = SE(3);
        end
        
        if i == 2
            k = inv([1 0 1; gamma omega lambda3; gamma^2-omega^2 2*gamma*omega lambda3^2]) ...
                * [z(1) + d;-beta*y(1);-beta*(x(1)-y(1)+z(1))];
        else
            k = inv([1 0 1; gamma omega lambda3; gamma^2-omega^2 2*gamma*omega lambda3^2]) ...
                * [z0 + d;-beta*y0;-beta*(x0-y0+z0)];
        end
    end
%%    
    %Fuggvenyertekek meghatarozasa minden idolepesben
    
    if (isreal(SE) == 1) && (SE(1) ~= SE(2)) && (SE(1) ~= SE(3)) && (SE(2) ~= SE(3))
        %Harom kulonbozo valos sajatertek
        
        [z(i),y(i),x(i)] = ValosNemAzonosak(k(1),k(2),k(3),SE(1),SE(2),SE(3),d,beta,t_2);
        
    elseif (isreal(SE) == 1) && ... %Valos sajatertekek, ketto azonos
            (((SE(1) == SE(2)) && (SE(2) ~= SE(3))) || ((SE(1) == SE(3)) && (SE(3) ~= SE(2))) ...
            || ((SE(2) == SE(3)) && (SE(3) ~= SE(1))))
            
        [z(i),y(i),x(i)] = ValosKettoAzonos(k(1),k(2),k(3),lambda12,lambda3,d,beta,t_2);
        
    elseif (isreal(SE) == 1) && (SE(1) == SE(2)) && ...
            (SE(1) == SE(3)) && (SE(2) == SE(3)) %Valos sajatertekek, mindharom azonos
        
        [z(i),y(i),x(i)] = ValosHaromAzonos(k(1),k(2),k(3),lambda,d,beta,t_2);
        
    elseif (isreal(SE) == 0) %Konjugalt komplex sajatertekek vannak
        
        [z(i),y(i),x(i)] = KonjugaltKomplex(k(1),k(2),k(3),lambda3,gamma,omega,d,beta,t_2);
        
    end
    
 %%   
    %Szakaszhatar-atlepes ellorzese
    if ((x(i-1) < -1) && (x(i) > -1)) || ((x(i-1) > -1) && (x(i) < -1))
        ujszakasz = true;
        x_vart = -1;
    elseif ((x(i-1) < 1) && (x(i) > 1)) || ((x(i-1) > 1) && (x(i) < 1))
        ujszakasz = true;
        x_vart = 1;
    else
        ujszakasz = false;
    end   
%%
    %x0,y0,z0 szakaszhatar-atlepes eseten (Bisection method)
    if ujszakasz == true

            a = t_1; b = t_2;
         
        epsilon = 100;
        
        while abs(epsilon) > 1*10^(-12)
            
            c = (a+b)/2;
            
            if (isreal(SE) == 1) && (SE(1) ~= SE(2)) && ...
                    (SE(1) ~= SE(3)) && (SE(2) ~= SE(3)) %Harom kulonbozo valos sajatertek
                
            [z0,y0,x0] = ValosNemAzonosak(k(1),k(2),k(3),SE(1),SE(2),SE(3),d,beta,c);
            [za,ya,xa] = ValosNemAzonosak(k(1),k(2),k(3),SE(1),SE(2),SE(3),d,beta,a);
            [zb,yb,xb] = ValosNemAzonosak(k(1),k(2),k(3),SE(1),SE(2),SE(3),d,beta,b);
            
            elseif (isreal(SE) == 1) && ... %Valos sajatertekek, ketto azonos
            (((SE(1) == SE(2)) && (SE(2) ~= SE(3))) || ((SE(1) == SE(3)) && ...
            (SE(3) ~= SE(2))) || ((SE(2) == SE(3)) && (SE(3) ~= SE(1))))
        
            [z0,y0,x0] = ValosKettoAzonos(k(1),k(2),k(3),lambda12,lambda3,d,beta,c);
            [za,ya,xa] = ValosKettoAzonos(k(1),k(2),k(3),lambda12,lambda3,d,beta,a);
            [zb,yb,xb] = ValosKettoAzonos(k(1),k(2),k(3),lambda12,lambda3,d,beta,b);
            
            elseif (isreal(SE) == 1) && (SE(1) == SE(2)) && (SE(1) == SE(3)) && ...
                    (SE(2) == SE(3)) %Valos sajatertekek, mindharom azonos
                
            [z0,y0,x0] = ValosHaromAzonos(k(1),k(2),k(3),lambda,d,beta,c);
            [za,ya,xa] = ValosHaromAzonos(k(1),k(2),k(3),lambda,d,beta,a);
            [zb,yb,xb] = ValosHaromAzonos(k(1),k(2),k(3),lambda,d,beta,b);
            elseif (isreal(SE) == 0) %Konjugalt komplex sajatertekek vannak
                
            [z0,y0,x0] = KonjugaltKomplex(k(1),k(2),k(3),lambda3,gamma,omega,d,beta,c);
            [za,ya,xa] = KonjugaltKomplex(k(1),k(2),k(3),lambda3,gamma,omega,d,beta,a);
            [zb,yb,xb] = KonjugaltKomplex(k(1),k(2),k(3),lambda3,gamma,omega,d,beta,b);
        
            end
            
            epsilon = x0 - x_vart;
            
            if sign(epsilon) == -1 && sign(xa-x_vart) == -1
                a = c;
            elseif sign(epsilon) == -1 && sign(xb-x_vart) == -1
                b = c;
            elseif sign(epsilon) == 1 && sign(xa-x_vart) == 1
                a = c;
            elseif sign(epsilon) == 1 && sign(xb-x_vart) == 1
                b = c;
            end
        end
    end
    if ujszakasz == true
        t_1 = 0; t_2 = dt;
    else
        t_1 = t_2; t_2 = t_2 + dt;
    end
end
\end{verbatim}
\subsection*{\texttt{KonjugaltKomplex.m}}
\scriptsize
\begin{verbatim}
function [z,y,x] = KonjugaltKomplex(C1,C2,C3,lambda3,gamma,omega,d,beta,t)

%Konjugalt komplex sajatertekek vannak

z = C1*exp(gamma*t)*cos(omega*t) + C2*exp(gamma*t)*sin(omega*t) + C3*exp(lambda3*t) - d;
y = (-1/beta)*(C1*gamma*exp(gamma*t)+C2*omega*exp(gamma*t))*cos(omega*t) + ...
    (-1/beta)*(C2*gamma*exp(gamma*t)-C1*omega*exp(gamma*t))*sin(omega*t) + ...
    (-1/beta)*C3*lambda3*exp(lambda3*t);

dy = (-1/beta)*exp(gamma*t)*(C1*gamma^2-C1*omega^2+2*C2*gamma*omega)*cos(omega*t) + ...
     (-1/beta)*exp(gamma*t)*(C2*gamma^2-C2*omega^2-2*C1*gamma*omega)*sin(omega*t) + ...
     (-1/beta)*C3*lambda3^2*exp(lambda3*t);

x = dy + y - z;

end
\end{verbatim}
\subsection*{\texttt{ValosHaromAzonos.m}}
\scriptsize
\begin{verbatim}
function [z,y,x] = ValosHaromAzonos(C1,C2,C3,lambda,d,beta,t)

%Harom valos sajatertek, mindharom azonos

z = C1*exp(lambda*t) + C2*t*exp(lambda*t) + C3*t^2*exp(lambda*t) - d;
y = (-1/beta)*exp(lambda*t)*(C1*lambda + C2 + C2*lambda*t + C3*2*t + C3*lambda*t^2);

dy = (-1/beta)*exp(lambda*t)*(C1*lambda^2 + 2*C2*lambda + C2*lambda^2*t + ...
    2*C3 + 4*C3*lambda*t + C3*lambda^2*t^2);

x = dy + y - z;

end
\end{verbatim}
\subsection*{\texttt{ValosKettoAzonos.m}}
\scriptsize
\begin{verbatim}
function [z,y,x] = ValosKettoAzonos(C1,C2,C3,lambda12,lambda3,d,beta,t)

%Harom valos sajatertek, ketto kozuluk azonos

z = C1*exp(lambda12*t) + C2*t*exp(lambda12*t) + C3*exp(lambda3*t) - d;
y = (-1/beta)*(C1*lambda12 + C2 + C2*lambda12*t)*exp(lambda12*t) + ...
    (-1/beta)*C3*lambda3*exp(lambda3*t);

dy = (-1/beta)*(C1*lambda12^2+2*C2*lambda12+C2*lambda12^2*t)*exp(lambda12*t) + ...
    (-1/beta)*C3*lambda3^2*exp(lambda3*t);

x = dy + y - z;

end
\end{verbatim}
\subsection*{\texttt{ValosNemAzonosak.m}}
\scriptsize
\begin{verbatim}
function [z,y,x] = ValosNemAzonosak(C1,C2,C3,lambda1,lambda2,lambda3,d,beta,t)

%Harom valos sajatertek, paronkent kulonboznek

z = C1*exp(lambda1*t) + C2*exp(lambda2*t) + C3*exp(lambda3*t) - d;
y = -(1/beta) * (lambda1*C1*exp(lambda1*t) + lambda2*C2*exp(lambda2*t) + ...
    lambda3*C3*exp(lambda3*t));

dy = -(1/beta) * (lambda1^2*C1*exp(lambda1*t) + lambda2^2*C2*exp(lambda2*t) + ...
    lambda3^2*C3*exp(lambda3*t));

x = dy + y - z;

end
\end{verbatim}
\section{További \texttt{Matlab}-kódok}
\subsection*{\texttt{HopfKereses.m}}
\scriptsize
\begin{verbatim}
%Jacobi-matrix vizsgalata Hopf-bifurkaciohoz a Chua-rendszerben
%ungert, 2019

clear; clc;

m1 = -0.7; beta = 5;
alpha = linspace(3.4,3.6,10000);
SE = zeros(3,length(alpha));

for i = 1:length(alpha)
    SE(:,i) = eig([-alpha(i)-alpha(i)*m1 alpha(i) 0;1 -1 1; 0 -beta 0]);
    if i>1
        for j = 1:3
            if isreal(SE(j,i)) == 0
                sign_kov = sign(real(SE(j,i)));
            end
            if isreal(SE(j,i-1)) == 0
                sign_elo = sign(real(SE(j,i-1)));
            end
        end
        
        if sign_kov*sign_elo < 0
            alpha0 = 0.5*(alpha(i) + alpha(i-1));
        end
    end          
end
\end{verbatim}
\subsection*{\texttt{BifDiag.m}}
\scriptsize
\begin{verbatim}
%Bifurkacios diagram felvetele ungert 2019
clear; clc;

alpha0 = 3.48961989619896;
beta = 5;
m0 = -1.5;
m1 = -0.7;

alpha = linspace(alpha0-0.0001,alpha0+0.000007,1000);
Ampl = zeros(size(alpha));

for i = 1:length(alpha)
    
    if i == 1

        [t,y] = ode45(@(t,in) chua(t,in,alpha(i),beta,m0,m1),linspace(0,20,10000),...
            [(m1-m0)/(1+m1)+1e-7 0 (m0-m1)/(1+m1)]);
        
    else
        
       [t,y] = ode45(@(t,in) chua(t,in,alpha(i),beta,m0,m1),linspace(0,20,10000),...
            [x_elozo y_elozo z_elozo]); 
        
    end
    
    x_elozo = y(9500,1); y_elozo = y(9500,2); z_elozo = y(9500,3);
    
     for j = 8000:10000
         for k = 8000:10000
             if sqrt( (y(j,1)-y(k,1))^2 + (y(j,2)-y(k,2))^2 + (y(j,3)-y(k,3))^2 ) > Ampl(i)
                 Ampl(i) = sqrt( (y(j,1)-y(k,1))^2 + (y(j,2)-y(k,2))^2 + (y(j,3)-y(k,3))^2 );
            end
         end
     end    
    
    
    if (i > 1) && (Ampl(i) < Ampl(i-1))
        Ampl(i) = Ampl(i-1);
    end

    %figure(1)
    %hold on;
    %plot(alpha(i),Ampl(i),'b.');
    
    %figure(2)
    %hold on;
    %plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3));
end
\end{verbatim}
\subsection*{\texttt{chua.m}}
\scriptsize
\begin{verbatim}
function out = chua(t,KF,alpha,beta,m0,m1)

x = KF(1);
y = KF(2);
z = KF(3);

h = m1*x+0.5*(m0-m1)*(abs(x+1)-abs(x-1));

xdot = alpha*(y-x-h);
ydot = x - y+ z;
zdot  = -beta*y;

out = [xdot ydot zdot]';
\end{verbatim}
\subsection*{\texttt{BifDiag\_pdoub.m}}
\scriptsize
\begin{verbatim}
%Perioduskettozo bifurkacio, Chua, ungert, 2019

clear; clc;

alpha0 = 8.9;
beta = 16;
m0 = -8/7;
m1 = -5/7;

alpha = linspace(8.855726163,9.1,8000);
T = zeros(1,size(alpha,2));

n = 10000; %Idolepesek
t = linspace(0,10,n);

KF = [-1.6195    0.2226    2.7174];

nyers1 = zeros(length(alpha),1);
nyers2 = zeros(length(alpha),1);

for i = 1:length(alpha)
    
    %CHUA + kezdeti feltetel
    [x,y,z] = chua_script(alpha(i),beta,m0,m1,t,n,KF);
    KF = [x(0.9*n) y(0.9*n) z(0.9*n)];
    
    if i == 1 
       spont = [x(3500) y(3500) z(3500)]; %Pont
       normvec= [x(3510)-spont(1) y(3510)-spont(2) z(3510)-spont(3)];
       d = normvec(1)*spont(1) + normvec(2)*spont(2) + normvec(3)*spont(3); %Sik egyenlete
       x_egyper = x; y_egyper= y; z_egyper = z;
    end
    
    l = 1;
    
    epsilon = 2e-4;
    for j = 1:length(x)
        if abs((normvec(1)*x(j) + normvec(2)*y(j) + normvec(3)*z(j)) - d) < epsilon %Sikon van
            sikon(l,1) = x(j); sikon(l,2) = y(j); sikon(l,3) = z(j);
            l = l+1;
        end
    end
    
    k = 1;
    %Kozeli pontok kivalogatasa
    for j = 1:size(sikon,1)
        if sqrt((sikon(j,1)-spont(1))^2+(sikon(j,2)-spont(2))^2+(sikon(j,3)-spont(3))^2) < 0.5
            kozeli(k,:) = sikon(j,:);
            k = k+1;
        end
    end
    
    %Bal-jobb szetosztas
    k = 1; l = 1; m = 1;
    for j = 1:size(kozeli,1)
        elojel = det([normvec(1) kozeli(j,1)-spont(1) spont(1); ...
            normvec(2) kozeli(j,2)-spont(2) spont(2); ...
            normvec(3) kozeli(j,3)-spont(3) spont(3)]);
        if elojel > 0
            bal(k,:) = kozeli(j,:);
            k = k+1;
        elseif elojel < 0
            jobb(l,:) = kozeli(j,:);
            l = l+1;
        elseif elojel == 0
            rajtavan(m,:) = kozeli(j,:);
        end
    end
    
    %Legkozelebbi kivalasztasa
    
    if k > 1
    epsilon = 10;
    for j = 1:size(bal,1)
        if abs((normvec(1)*bal(j,1) + normvec(2)*bal(j,2) + normvec(3)*bal(j,3)) - d) < epsilon
            balpont = bal(j,:);
            epsilon = abs((normvec(1)*bal(j,1) + normvec(2)*bal(j,2) + normvec(3)*bal(j,3)) - d);
        end
    end
    end
    
    if l > 1
    epsilon = 10;
    for j = 1:size(jobb,1)
        if abs((normvec(1)*jobb(j,1) + normvec(2)*jobb(j,2) + normvec(3)*jobb(j,3)) - d) < epsilon
            jobbpont = jobb(j,:);
            epsilon = abs((normvec(1)*jobb(j,1) + normvec(2)*jobb(j,2) + normvec(3)*jobb(j,3)) - d);
        end
    end
    end
    
    if (k > 1) && (l > 1) && (i > 50)
        nyers1(i) = balpont(1);
        nyers2(i) = jobbpont(1);
    else
        nyers1(i) = spont(1);
        nyers2(i) = spont(1);
    end
    
    %Abrazolas
%     plot3(x_egyper,y_egyper,z_egyper);
%     hold on;
%     plot3(x,y,z);
%     plot3(spont(1),spont(2),spont(3),'black+');
%     plot3(balpont(1),balpont(2),balpont(3),'r+');
%     plot3(jobbpont(1),jobbpont(2),jobbpont(3),'r+');
    
    if i < length(alpha)
    clear kozeli sikon bal jobb  rajtavan balpont jobbpont;
    %close(1);
    end
end

j = 1;

for i = 1:length(nyers1)
    if i == 1
        ag1(j) = nyers1(i);
        alfa1(j) = alpha(i);
        j = j+1;
    elseif (i > 1) && ((nyers1(i)-ag1(j-1)) < -2e-4)
        ag1(j) = nyers1(i);
        alfa1(j) = alpha(i);
        j = j+1;
    end
end

k = 1;

for i = 1:length(nyers2)
    if i == 1
        ag2(k) = nyers2(i);
        alfa2(k) = alpha(i);
        k = k+1;
    elseif (i > 1) && ((nyers2(i)-ag2(k-1)) > 10e-4)
        ag2(k) = nyers2(i);
        alfa2(k) = alpha(i);
        k = k+1;
    end
end

figure(1)
hold on;
plot(alfa1,ag1);
plot(alfa2,ag2);
%Eredmenyritkitas
k = 1;
for i = 1:length(x)
    if mod(i,40) == 0
        xe(k,1) = x(i);
        ye(k,1) = y(i);
        ze(k,1) = z(i);
        te(k,1) = t(i);
        k = k+1;
    end
end
\end{verbatim}
\end{appendices}
\end{document}